Есть тупоугольный треугольник ABC. Точка пересечения D срединных перпендикуляров сторон тупого угла находится на расстоянии 36,7 см от вершины угла B. Задать расстояние точки D от вершин A и C.
DA= ?см
DC= ?см

Проведем сечение конуса плоскостью, проходящей через высоту.
Получится равнобедренный треугольник с основанием 12 и высотой 8. Рассмотрим "половинку" этого треугольника - прямоугольный треугольник с катетами, являющимися высотой конуса и радусом основания.
Из него находим длину образующей - это гипотенуза этого треугольника. То есть, образующая равна 10 (√(64+36)).
Проведем высоту из прямого угла к гипотенузе этого треугольника - это и есть искомое расстояние.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором радиус основания является гипотенузой, а один из катетов - искомая высота.
Этот треугольник подобен "половинке" первоначального треугольника, так как у него равны все углы (один - общий - между образующей и радиусом основания, второй - 90°, значит, равен и третий).
А, значит, отношение искомой высоты к радусу основания равно отношению высоты конуса к образующей, то есть искомая высота (расстояние от центра основания до образующей) равна:
8/10*6=4,8 см.

Из свойства касательных: 
1. касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания⇒
∠ОСА=90°, тогда по т. Пифагора  АС=√(ОА²-ОС²)=√(25-9)=4см;
2. отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности⇒
АС=АВ, ΔАВС-равнобедренный, в равнобедренном Δ биссектриса является высотой и медианой. АК⊥ВС, ВК=КС.
Используем соотношение пропорциональных отрезков:
в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, поэтому в ΔОВА    АК=АВ²/ОА=16/5=3,2см,
ОК=ОА-АК=5-3,2=1,8 см.
ΔОВК-прямоугольный, ВК=√(ОВ²-ОК²)=√(9-3,24)=2,4см
ВС=2ВК=2*2,4=4,8см