очевидно, что OA=OB=2*a (там 2 прямоуголных треугольника получается, если из O опустить перпендикуляр на плоскость, угол при вершине 30 гр по условию =>OA= 2*а) . пусть точка пересечения перпендикуляра из О с плоскостью - K. тогда АК=корень (3)*а (как и BK). АBK - равнобедренный . по условию проекции наклонных на плоскость образуют угол 120 градусов. запуливаем теорему косинусов для ABK и получаем, что AB^2=BK^2+AK^2-2*BK*AK*cos120гр. это ответ (вообще сами досчитайте, там все известно) . можно без косинусов. опустим из К высоту на AB. т. к ABK - равнобедренный, то высота является и биссектриссой, т. е она поделили угол в 120 гр пополам. пусть T - основание высоты. тогада имеем KTA 0 прямоуголный с углом в 30 гр (90-60). KA -гипотенуза. зная ее длину найдем AT = 3/2*a. AB=2*AT=3*a
1) Один очень лёгкий: координаты точки пересечения медиан равны среднему арифметическому координат вершин.
А(-2;3;-6), B(-3;5;2), C(5;1;6),
x(O) = (-2-3+5)/3 = 0.
y(O) = (3+5+1)/3 = 3,
z(O) = (-6+2+6)/3 = 2/3.
Второй основан на свойстве точки пересечения медиан - она делит медиану в отношении 2:1 от вершины.
Находим координаты точки А1 как середины ВС:(B(-3;5;2)+ C(5;1;6))/2.
Точка А1 (середина ВС)
a1x a1y a1z
1 3 4.
Поделим отрезок АА1 в отношении 2:1. А(-2;3;-6), А1(1; 3; 4).
АА1 = (3; 0; 10)
|AA1| = 10,44030651, квадрат 109.
x(О) = xА + (2/3)(АА1) = -2+((2/3)*3) = 0,
y(О) = yА + (2/3)(АА1) = 3+((2/3)*0) = 3,
z(О) = zА + (2/3)(АА1) = -6+((2/3)*10) = (-18+20)/3 = 2/3.
2) Дано: A(3;4;0), B(-4;2;0), C(6;5;0).
Находим центр как точку пересечения медиан.
x(O) = (3-4+6)/3 = 5/3,
y(O) = (4+2+5)/3 = 11/3,
z(O) = 0.
О((5/3; (11/3); 0), D(2;3;8).
Вектор ОД = ((1/3); (-2/3); 8).
Н = √((1/3)² + (-2/3)² + 8²) = √(1/9) + (4/9) + 64) = √581/3 ≈ 8,034647.