В равнобедренном треугольнике ABC угол В равен 30°, AB=BC=6, проведены высота CD треугольника ABC и высота DE треугольника BDC. Найдите BE.
——————————
ответ: 4,5 (ед. длины)
Объяснение:
Из ∆ ВDC катет DC противолежит углу 30° ⇒ DC=ВС:2= 6:2=3 (свойство).
Высота прямоугольного треугольник, проведенная к гипотенузе, делит его на треугольники, подобные друг другу и исходному треугольнику. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.
СМ : МК : КА = 2 : 3 : 2, т.е. СМ - две одинаковые части, МК - три такие же части, а КА - 2 части. Тогда
СМ : СК : СА = 2 : 5 : 7
Если прямая параллельна стороне треугольника, то она отсекает треугольник, подобный данному, значит
ΔМСТ подобен ΔАСВ и коэффициент подобия равен:
k₁ = CM : CA = 2 : 7
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
Smct : Sabc = 4 : 49
Smct = 4 · 98 / 49 = 8 см²
ΔКСР подобен ΔАСВ,
k₂ = CK : CA = 5 : 7
Skcp : Sacb = 25 : 49
Skcp = 25 · 98 / 49 = 50 см²
Skmtp = Skcp - Smct = 50 - 8 = 42 см²
Sakpb = Sacb - Skcp = 98 - 50 = 48 см²
В равнобедренном треугольнике ABC угол В равен 30°, AB=BC=6, проведены высота CD треугольника ABC и высота DE треугольника BDC. Найдите BE.
——————————
ответ: 4,5 (ед. длины)
Объяснение:
Из ∆ ВDC катет DC противолежит углу 30° ⇒ DC=ВС:2= 6:2=3 (свойство).
Высота прямоугольного треугольник, проведенная к гипотенузе, делит его на треугольники, подобные друг другу и исходному треугольнику. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.
Угол BСD=90°-∠DBC=90°-30°=60°, угол ЕDC=30°.
CD - гипотенуза прямоугольного ∆ СЕD, катет ЕС противолежит углу 30°,⇒ ЕС=СD:2=3:2=1,5 ⇒
ВЕ=6-1.5=4,5
Или:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на неё.
СD²=BC•EC. Из найденного СD=3.
3²=6•CE ⇒ CE=1,5 a BE=BC-CE=6-1,5=4,5