Для начала найдем отношение ВР/РС. Для этого: Проведем BD параллельно АС. Тогда <PAC=<BDA, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей АD. ∆АКМ ~ ∆BKD по двум углам (1). ∆АРС ~ ∆DРВ по двум углам (2). Из (1) BD/AM=4 и BD=4AM = 2AC. Из (2) BP/PC=2. ВМ - медиана и по ее свойствам Sabm=Scbm. Треугольники АВК и АКМ - треугольники с общей высотой к стороне ВМ. Значит Sabk/Sakm=4/1. => Sabk=Sabc*(1/2)*(4/5)=(2/5)*Sabc. Sakm=Sabc*1/(2*5)=(1/10)*Sabc. Треугольники ABP и APC - треугольники с общей высотой к стороне ВC. Значит Sabp/Sapc=2/1. => Sapc=Sabc*1/3=(1/3)*Sabc. Тогда Skpcm=Sapc-Sakm = (1/3)*Sabc-(1/10)*Sabc = (7/30)*Sabc. Sabk/Skpcm=(2/5)/(7/30)=12/7.
Данные точки A (-3; 2), B (0; 4), C (4; -2) Найдите
1) Координаты вектора AB и CA
2) Модули вектора AB и CA
3) Координаты вектора KP = 4 AB-3 CA
4) Косинус угла между векторами AB и CA.
Объяснение:
Данные точки A (-3; 2), B (0; 4), C (4; -2)
1) Координаты вектора
AB (0+3;4-2) или АВ(3;2) ;
CA(-3-4;2-(-2)) или СА(-7;4) .
2) Модули вектора AB= √(3²+2²)=√13.
CA =√( (-7)²+4²)=√(49+16)=√65
3) Координаты вектора KP = 4 AB-3 CA
4АВ(4*3; 4*2) или 4АВ(12;8) ;
3СА(-7*3;4*3) или 3СА(-21; 12).
КР(12-(-21) ;8-12) или КР(33 ;-4)
4) Вектора АВ(3;2) ; СА(-7;4) .
Скалярное произведение векторов
АВ*СА=|АВ|*|СА|*cos(АВ;СА),
3*(-7)+2*4=√13*√65*cos(АВ;СА),
-13=13√5*cos(АВ;СА),
cos(АВ;СА)=-(13/13√5)
cos(АВ;СА)= -1/√5
Проведем BD параллельно АС. Тогда <PAC=<BDA, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей АD.
∆АКМ ~ ∆BKD по двум углам (1).
∆АРС ~ ∆DРВ по двум углам (2).
Из (1) BD/AM=4 и BD=4AM = 2AC.
Из (2) BP/PC=2.
ВМ - медиана и по ее свойствам Sabm=Scbm.
Треугольники АВК и АКМ - треугольники с общей высотой к стороне ВМ. Значит Sabk/Sakm=4/1. => Sabk=Sabc*(1/2)*(4/5)=(2/5)*Sabc.
Sakm=Sabc*1/(2*5)=(1/10)*Sabc.
Треугольники ABP и APC - треугольники с общей высотой к стороне ВC.
Значит Sabp/Sapc=2/1. => Sapc=Sabc*1/3=(1/3)*Sabc.
Тогда Skpcm=Sapc-Sakm = (1/3)*Sabc-(1/10)*Sabc = (7/30)*Sabc.
Sabk/Skpcm=(2/5)/(7/30)=12/7.