До ть, будь ласка. коло вписане в трикутник АВС дотикається до його сторін у точках М, К, Е. ВК=2 см, КС=4 см, АМ=8 см. Знайдіть Р= АВС
Бажано з малюнком ​

Угол между плоскостями граней SBC и АВС - двугранный угол с ребром ВС, которое является линией пересечения данных плоскостей. 

Чтобы построить этот угол, из А проведем перпендикуляр АН  к ВС, из S- наклонную SH в ту же точку.

АН - проекция SH и перпендикулярна ВС.  По т.трех перпендикулярах SH ⊥ВС

Перпендикуляр АН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС. ⇒  угол САН=50º:2=25º

В треугольниках АСН и ASH катет АН общий, а острые углы при Н равны. 

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.⇒

SH=5 см –   это расстояние от вершины пирамиды до ВС. 

Площадь полной поверхности пирамиды  равна сумме площадей боковых граней  и площади треугольника SBC. 

Т.к. по условию ВА=СА, то и наклонные, чьими проекциями они являются, тоже равны. ⇒

SB=SC, ∆ BSC- равнобедренный с высотой SH.

S АВС=АВ•ВС•sin ∠BAC:2

Синус 50º по таблице равен 0,7660 

S ABC=25•0,7660:2=9,576666 = ≈ 9,577 см²²

Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти SA  и SH

SA=SH•sin 25

sin25º=0,4226

 SA=5•0,4226=2,113

S ∆ SAC=AC•SA:2= ≈5,28см²

S ∆ SAC+S ∆ SAB= ≈10,565 см²

S ∆ SBC=BC•SH:2

ВС найдем по т. косинусов

ВС²=25+25-50•cos50º

cos50º=≈0,64278 

ВС=√17,860=4,226

S ∆ SBC=5•4,226•0,64378:2=10,565 см²

Площадь полной поверхности пирамиды SАВС= ≈ 21,113 см²²

Геометрический
S(AMB)=1/2MA·MB·sin(AMB)=(√3/4)MA·MB, т.к. ∠AMB=∠ACB=60°.
Отсюда  MA·MB=4S(AMB)/√3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S(AMC)/√3, MC·MB=4S(СMВ)/√3.
По теореме косинусов для тех же треугольников:
AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB²-(4/√3)·S(AMB);
AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС²-(4/√3)·S(AMС);
СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB²-(4/√3)·S(СMB).
Сложим эти равенства:
AB²+AС²+СB²=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(S(AMB)-S(AMС)+S(СMB)).
Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9,
S(AMB)+S(СMB)-S(AMС)=S(ABC)=(3√3)/4.
Поэтому 9=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(3√3)/4, т.е. 
MA²+MB²+MС²=(9+3)/2=6.

Тригонометрический
Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то  MА=2Rsin(x), MB=2Rsin(60°+x), MC=2Rsin(60°-x). Значит 
MA²+MB²+MС²=4R²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°-x)).
После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.