Дано: ABCD — квадрат, Sabcd= 4, т.М — середина АВ, АМ=ВМ, DH⟂СМ.
Найти: DH.
Решение.
1) Найдем сторону квадрата.
АВ²= 4;
АВ= 2 (–2 не подходит).
AB=BC=CD=AD= 2.
т.M — середина АВ, значит, АМ=ВМ= 2:2= 1.
2) Мы видим два равных прямоугольных треугольника: ΔMBC и ΔMAD (равны по двум катетам).
Найдем их площадь. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Значит, Smbc= Smad= ½•1•2= 1.
3) А площадь треугольника MDC равна разности площади квадрата и площадей треугольников MBC и MAD.
Т.е. Smdc= Sabcd–Smbc–Smad= 4–1–1= 4–2= 2.
4) Найдем сторону МС прямоугольного треугольника МВС (МС - это гипотенуза) по т.Пифагора:
МС²= МВ²+ВС²;
МС²= 1+2²;
МС²= 5;
МС= √5
5) Площадь обычного (произвольного) треугольника равна произведению половины основания этого треугольника на высоту, проведённую к этому основанию.
Для треугольника MDC это выглядит так:
Smdc= ½•MC•DH.
2= ½•√5•DH;
2 : ½ = √5DH;
√5DH= 4;
DH= 4/√5.
Расстояние от вершины D квадрата ABCD до прямой СМ равно 4/√5.
ОТВЕТ: 4/√5.
Группа А, вариант 1.
Даны вершины треугольника.
Точка А Точка В Точка С
х у х у х у
1 2 9 8 5 0
Находим длины сторон.
АВ ВС АС
Δx Δy Δx Δy Δx Δy
8 6 -4 -8 4 -2
64 36 16 64 16 4 квадраты
100 80 20 сумма квадратов
АВ (c) = 10 ВС(a) = √80 = 4√5 АС (b) = √20 = 2√5 .
Углы по теореме косинусов:
cos A = 0,4472 A = 1,107 радиан или 63,435 градуса
cos B = 0,8944 B = 0,4637 радиан или 26,565 градуса
cos C = 0 C = 1,5708 радиан или 90 градусов.
Как видом, треугольник прямоугольный.
Векторы и модули сторон определились выше:
АВ (8; 6), ВС(-4; -8) АС(4; -2).
10 4√5 2√5
Косинусы углов можно определить по векторам.
Например, cos А = (AB*AC)/(|AB|*|AC|) =
(8*4 + 6*(-2)/(10* 2√5 ) = 20/(20√5 ) = 1/√5 ≈ 0,44721.
Что соответствует ранее найденному.
Уравнения сторон.
АВ: (х - 1)/8 = (у -2)/6 это канонический вид,
6х - 8у + 10 = 0 или 3х - 4у + 5 = 0 это общий вид,
у = (3/4)х + (5/4) вариант с угловым коэффициентом.
ВС: (х - 9)/(-4) = (у -8)/(-8),
АС: (х - 1)/4 = (у -2)/9-2).
Другие варианты можно определить самостоятельно.
Площадь треугольника можно определить или по формуле Герона, или по координатам:
S = (1/2)|(x2 - x1)*(y3 - y1) - (x3 - x1)*(y2 - y1)|.
Подставив значения, получаем S = 20.
Находим координаты точки К - середины стороны АВ:
К = ((1+9)/2=5; (2+8)/2=5) = (5; 5).
Теперь находим вектор СК:
СК = ((5-5)=0; (5-0=5) = (0; 5).
Уравнение медианы СК:
(х - 5)/0 = (у - 0)/5 или х = 5. Это вертикальная линия.
Дано: ABCD — квадрат, Sabcd= 4, т.М — середина АВ, АМ=ВМ, DH⟂СМ.
Найти: DH.
Решение.
1) Найдем сторону квадрата.
АВ²= 4;
АВ= 2 (–2 не подходит).
AB=BC=CD=AD= 2.
т.M — середина АВ, значит, АМ=ВМ= 2:2= 1.
2) Мы видим два равных прямоугольных треугольника: ΔMBC и ΔMAD (равны по двум катетам).
Найдем их площадь. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Значит, Smbc= Smad= ½•1•2= 1.
3) А площадь треугольника MDC равна разности площади квадрата и площадей треугольников MBC и MAD.
Т.е. Smdc= Sabcd–Smbc–Smad= 4–1–1= 4–2= 2.
4) Найдем сторону МС прямоугольного треугольника МВС (МС - это гипотенуза) по т.Пифагора:
МС²= МВ²+ВС²;
МС²= 1+2²;
МС²= 5;
МС= √5
5) Площадь обычного (произвольного) треугольника равна произведению половины основания этого треугольника на высоту, проведённую к этому основанию.
Для треугольника MDC это выглядит так:
Smdc= ½•MC•DH.
2= ½•√5•DH;
2 : ½ = √5DH;
√5DH= 4;
DH= 4/√5.
Расстояние от вершины D квадрата ABCD до прямой СМ равно 4/√5.
ОТВЕТ: 4/√5.
Группа А, вариант 1.
Даны вершины треугольника.
Точка А Точка В Точка С
х у х у х у
1 2 9 8 5 0
Находим длины сторон.
АВ ВС АС
Δx Δy Δx Δy Δx Δy
8 6 -4 -8 4 -2
64 36 16 64 16 4 квадраты
100 80 20 сумма квадратов
АВ (c) = 10 ВС(a) = √80 = 4√5 АС (b) = √20 = 2√5 .
Углы по теореме косинусов:
cos A = 0,4472 A = 1,107 радиан или 63,435 градуса
cos B = 0,8944 B = 0,4637 радиан или 26,565 градуса
cos C = 0 C = 1,5708 радиан или 90 градусов.
Как видом, треугольник прямоугольный.
Векторы и модули сторон определились выше:
АВ (8; 6), ВС(-4; -8) АС(4; -2).
10 4√5 2√5
Косинусы углов можно определить по векторам.
Например, cos А = (AB*AC)/(|AB|*|AC|) =
(8*4 + 6*(-2)/(10* 2√5 ) = 20/(20√5 ) = 1/√5 ≈ 0,44721.
Что соответствует ранее найденному.
Уравнения сторон.
АВ: (х - 1)/8 = (у -2)/6 это канонический вид,
6х - 8у + 10 = 0 или 3х - 4у + 5 = 0 это общий вид,
у = (3/4)х + (5/4) вариант с угловым коэффициентом.
ВС: (х - 9)/(-4) = (у -8)/(-8),
АС: (х - 1)/4 = (у -2)/9-2).
Другие варианты можно определить самостоятельно.
Площадь треугольника можно определить или по формуле Герона, или по координатам:
S = (1/2)|(x2 - x1)*(y3 - y1) - (x3 - x1)*(y2 - y1)|.
Подставив значения, получаем S = 20.
Находим координаты точки К - середины стороны АВ:
К = ((1+9)/2=5; (2+8)/2=5) = (5; 5).
Теперь находим вектор СК:
СК = ((5-5)=0; (5-0=5) = (0; 5).
Уравнение медианы СК:
(х - 5)/0 = (у - 0)/5 или х = 5. Это вертикальная линия.