Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Прямые AB и CD пересекаются в точке P. Точка X на отрезке BD такова, что ∠APX=∠DPO. Известно, что AC=10, BD=11, OC=3. Найдите длину отрезка DX.

Пусть сторона, к которой прилежат углы, данные в условии, будет основанием АС треугольника АВС. Из вершины В опустим к АС высоту ВН. С ее мы отсекли от треугольника АВС равнобедренный прямоугольный треугольник АВН. Угол ВАС=45° по условию, АВН равен ему - из прямоугольногоо треугольника АВН. Обозначим катеты ВН и АН этого треугольника х ( т.к. они равны). Тогда НС=2-х, а сторона ВС, как гипотенуза треугольника ВНС, в котором, катет противолежащий углу 30°, равен х, равна 2х. Составим уравнение по теореме Пифагора для стороны ВС треугольника ВНС. ВС²=НС²+ВН² (2х)²= х ²+(2-х)² 4х²= х²+ 4-4х+х ² 2х²+ 4х-4 =0 D=b²-4ac=4²-4·2·-4=48 х1= (- 4 +√48) :4= -( 4 - 4√3) :4= -4(1-√3):4=√3-1 ВС=2(√3-1) ≈1,464 АВ=(√3-1)√2=√6-√2≈ 2,449-1,414≈1,035

S ≈ 6.87 cм²

Объяснение:

Правильный пятиугольник со стороной а = 2см состоит из пяти равных треугольников. Треугольники эти равнобедренные с боковой стороной, равной R (радиусу описанной окружности), и с углом  α при вершине,  

α = 180°: 5 = 72°

Углы при основании такого треугольника равны:

0.5 · 180°· (n - 2)/n = 0,5 · 180° · 3 : 5 = 54°.

По теореме синусов можно найти боковую сторону

R : sin 54° =  а : sin 72°

R = а · sin 54° : sin 72° = 2 · 0.809 : 0.951 ≈ 1.7

Площадь пятиугольника

S = 5 · 0.5R² · sin 72° = 2.5 · 1.7² · 0.951 ≈ 6.87(cм²)