Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм², а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. Найти катеты треугольника.
Пусть дан треугольник АВС, угол С=90º
Точки касания вписанной окружности на АС- точка К, на ВС - точка Н, на гипотенузе АВ- точка М.
Пусть АК=х, ВН=у.
Тогда по свойству отрезков касательных из одной точки АМ=х, ВМ=у
АВ=х+у
АС=х+3, ВС=у+3
Формула радиуса вписанной окружности
r=S:p, где r -радиус, S - площадь треугольника. р- его полупериметр
р=х+у+3
3=84:(х+у+3)
х+у+3=28⇒
х+у=25
у=25-х
АВ=х+у=25 дм
АС=х+3
ВС=25-х+3=28-х
По т.Пифагора
(х+3)²+(28-х)²=625
Произведя вычисления и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение
х²-25х+84=0
D=25²-4·84=289
Решив уравнение, найдем два корня: 21 и 4
АС=21+3=24 дм
ВС=28-21=7 дм
Кстати, длины сторон этого треугольника из Пифагоровых троек, где стороны относятся как 7:24:25
1. Радиус сферы равен половине диаметра, R = 25 см.
Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. это и есть расстояние от центра сферы до сечения.
Итак, ОА = 25 см, ОС = 15 см. Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора находим радиус сечения:
АС = √(ОА² - ОС²) = √(25² - 15²) = √(625 - 225) = √400 = 20 cм
Линия пересечения сферы плоскостью - окружность. Ее длина:
C = 2π·AC = 2π · 20 = 40π см
2. Сечение шара - круг. Его площадь равна 36π см²:
Sсеч = π · r² = 36π
r² = 36
r = 6 см
Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора:
ОС = √(ОА² - r²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см - искомое расстояние.
3. Радиус большого круга равен радиусу шара.
Площадь сечения:
Sсеч = πr²
Площадь большого круга:
S = πR², R = √(S/π)
Sсеч / S = πr² / (πR²) = r²/ R²
По условию Sсеч / S = 3 / 4, ⇒
r²/ R² = 3 / 4, тогда r/R = √3/2
В прямоугольном треугольнике АОС r/R - это косинус угла А.
Тогда ∠А = 30°.
Расстояние от центра шара до сечения - отрезок ОС. Это катет, лежащий напротив угла в 30°, значит он равен
OC = R/2 = √(S/π) / 2 = √S/(2√π)
4. Радиус шара равен половине диаметра:
R = 2√3 см
Прямоугольный треугольник ОВС равнобедренный, так как в нем острый угол равен 45°, поэтому
ОС = r = R/√2 = 2√3 / √2 = √6 см
Sсеч = πr² = π · (√6)² = 6π см²
Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм², а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. Найти катеты треугольника.
Пусть дан треугольник АВС, угол С=90º
Точки касания вписанной окружности на АС- точка К, на ВС - точка Н, на гипотенузе АВ- точка М.
Пусть АК=х, ВН=у.
Тогда по свойству отрезков касательных из одной точки АМ=х, ВМ=у
АВ=х+у
АС=х+3, ВС=у+3
Формула радиуса вписанной окружности
r=S:p, где r -радиус, S - площадь треугольника. р- его полупериметр
р=х+у+3
3=84:(х+у+3)
х+у+3=28⇒
х+у=25
у=25-х
АВ=х+у=25 дм
АС=х+3
ВС=25-х+3=28-х
По т.Пифагора
(х+3)²+(28-х)²=625
Произведя вычисления и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение
х²-25х+84=0
D=25²-4·84=289
Решив уравнение, найдем два корня: 21 и 4
АС=21+3=24 дм
ВС=28-21=7 дм
Кстати, длины сторон этого треугольника из Пифагоровых троек, где стороны относятся как 7:24:25
1. Радиус сферы равен половине диаметра, R = 25 см.
Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. это и есть расстояние от центра сферы до сечения.
Итак, ОА = 25 см, ОС = 15 см. Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора находим радиус сечения:
АС = √(ОА² - ОС²) = √(25² - 15²) = √(625 - 225) = √400 = 20 cм
Линия пересечения сферы плоскостью - окружность. Ее длина:
C = 2π·AC = 2π · 20 = 40π см
2. Сечение шара - круг. Его площадь равна 36π см²:
Sсеч = π · r² = 36π
r² = 36
r = 6 см
Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора:
ОС = √(ОА² - r²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см - искомое расстояние.
3. Радиус большого круга равен радиусу шара.
Площадь сечения:
Sсеч = πr²
Площадь большого круга:
S = πR², R = √(S/π)
Sсеч / S = πr² / (πR²) = r²/ R²
По условию Sсеч / S = 3 / 4, ⇒
r²/ R² = 3 / 4, тогда r/R = √3/2
В прямоугольном треугольнике АОС r/R - это косинус угла А.
Тогда ∠А = 30°.
Расстояние от центра шара до сечения - отрезок ОС. Это катет, лежащий напротив угла в 30°, значит он равен
OC = R/2 = √(S/π) / 2 = √S/(2√π)
4. Радиус шара равен половине диаметра:
R = 2√3 см
Прямоугольный треугольник ОВС равнобедренный, так как в нем острый угол равен 45°, поэтому
ОС = r = R/√2 = 2√3 / √2 = √6 см
Sсеч = πr² = π · (√6)² = 6π см²