Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10 см, боковые ребра равны 13 см. Найдите высоту этой пирамиды.​

Четырехугольник AMNP - параллелограмм, поскольку его противоположные стороны попарно параллельны по условию. Пусть PN=2x, MN=3x (из условия, что PN:MN=2:3). Рассмотрим треугольники АВС и PNC. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого:
- угол С - общий;
- углы А и CPN равны как соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых АВ и PN секущей АС. 
Для подобных треугольников можно записать соотношение сходственных сторон:
PN : AB = PC : AC. Отсюда РС= PN*AC:AB.
РС=2х*15:10=3х, но и АР=3х также (противоположные стороны параллелограмма MN и АР равны). Тогда
АР+РС=15
3х+3х=15
х=2,5
АР=MN=3*2.5=7.5 см; AM=PN=2*2.5=5 см

Представим, что мы повернули эту пирамиду на  грань АSD как на основание). Тогда очевидно, что расстояние (перпендикуляр) от С до плоскости этой грани - высота получившейся пирамиды. 

КМ параллельна АS. ⇒треугольники АSС и КМС подобны с коэффициентом подобия (3+2):2=2,5

Тогда и треугольники АSB и КМН параллельны и подобны, а коэффициент их подобия тоже 2,5

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента их подобия. 

 S (АSB): S(КМН)=(АС:КС)²=6,25

 S (АSB)=S(КМН)*6,25=125 см²

V=hS:3

h=3V:S=300:125=2,4 см

ответ: расстояние от С до плоскости грани АSB=2,4 см