В треугольнике АВС AF и СК – биссектрисы, точка О – точка их пересечения. Угол АВС равен 54 градуса. Из точки О на сторону АС опущен перпендикуляр ОЕ=4 см. Найти расстояние от точки О до стороны АВ и угол АВО.
Две плоскости пересекаются под углом 60°. Точка М находится на одинаковом расстоянии от этих плоскостей. Найдите расстояние от точки М до линии пересечения этих плоскостей, если расстояние от точки М до каждой плоскости равно 4 см.
ответ: 8 см
Объяснение:
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой b.
Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.
Проведем МА⊥α и МВ⊥β. По условию МА = МВ = 4 см.
Плоскость (АМВ) пересекает прямую b в точке С.
АМ⊥α, b ⊂ α, значит АМ⊥b,
ВМ⊥β, b ⊂ β, значит ВМ⊥b,
а так как прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (АМВ), то она перпендикулярна и всей плоскости, и каждой прямой, лежащей в плоскости.
Итак, b⊥АС и b⊥ВС, тогда ∠АСВ = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями.
А так же b⊥МС, значит МС - искомое расстояние от точки М до прямой b.
ΔАМС = ΔВМС по гипотенузе и катету (МА = МВ по условию, гипотенуза МС - общая), значит
∠МСА = ∠МСВ = 1/2 ∠ АСВ = 30°
В прямоугольном треугольнике АМС напротив угла в 30° лежит катет АМ = 4 см, значит
Обозначим трапецию АВСD, высоту, опущенную из вершины С - СН.
. Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. Полусумма оснований=средняя линия трапеции.
Вспомним, что в равнобедренной трапеции высота, проведенная из тупого угла к основанию, делит его на отрезки. больший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности.⇒ АН=4. ⇒ S(ABCD)=CH•AH.Треугольник АСН - прямоугольный. По т.Пифагора СН=√(AC²-AH²)=√(6²-4²)=2√5 ⇒ S(ABCD)=2√5•4=8√5 (ед площади).
Или
Проведем из вершины С параллельно диагонали ВD прямую до пересечения с продолжением АD в точке К. Четырехугольник DBCK- параллелограмм (противолежащие стороны параллельны), DK=BC и АК=ВС+AD=2•4=8(т.к. равно двум полусуммам оснований). Тогда площадь треугольника равна АСК равна площади трапеции, её можно вычислить по ф.Герона и получить тот же результат.
Две плоскости пересекаются под углом 60°. Точка М находится на одинаковом расстоянии от этих плоскостей. Найдите расстояние от точки М до линии пересечения этих плоскостей, если расстояние от точки М до каждой плоскости равно 4 см.
ответ: 8 см
Объяснение:
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой b.
Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.
Проведем МА⊥α и МВ⊥β. По условию МА = МВ = 4 см.
Плоскость (АМВ) пересекает прямую b в точке С.
АМ⊥α, b ⊂ α, значит АМ⊥b,
ВМ⊥β, b ⊂ β, значит ВМ⊥b,
а так как прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (АМВ), то она перпендикулярна и всей плоскости, и каждой прямой, лежащей в плоскости.
Итак, b⊥АС и b⊥ВС, тогда ∠АСВ = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями.
А так же b⊥МС, значит МС - искомое расстояние от точки М до прямой b.
ΔАМС = ΔВМС по гипотенузе и катету (МА = МВ по условию, гипотенуза МС - общая), значит
∠МСА = ∠МСВ = 1/2 ∠ АСВ = 30°
В прямоугольном треугольнике АМС напротив угла в 30° лежит катет АМ = 4 см, значит
МС = 2АМ = 8 см
Обозначим трапецию АВСD, высоту, опущенную из вершины С - СН.
. Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. Полусумма оснований=средняя линия трапеции.
Вспомним, что в равнобедренной трапеции высота, проведенная из тупого угла к основанию, делит его на отрезки. больший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности.⇒ АН=4. ⇒ S(ABCD)=CH•AH.Треугольник АСН - прямоугольный. По т.Пифагора СН=√(AC²-AH²)=√(6²-4²)=2√5 ⇒ S(ABCD)=2√5•4=8√5 (ед площади).
Или
Проведем из вершины С параллельно диагонали ВD прямую до пересечения с продолжением АD в точке К. Четырехугольник DBCK- параллелограмм (противолежащие стороны параллельны), DK=BC и АК=ВС+AD=2•4=8(т.к. равно двум полусуммам оснований). Тогда площадь треугольника равна АСК равна площади трапеции, её можно вычислить по ф.Герона и получить тот же результат.