Геометрия: Дано: ОКР (О;ОА)СА ОАСВ ОВДоказать: АН=НВ

Дано: ОКР (О;ОА)
СА ОА
СВ ОВ
Доказать: АН=НВ

Показать ответ

Ответ:

ЕвгенийМатвеев

13.02.2021 12:08

Проведём ВМ║АD. Четырехугольник АВМD- параллелограмм ( стороны попарно параллельны)

DM=AB=18 см

В ∆ ВМС ∠ВМС=∠АDМ.

МС=DC-DM=27-18=9

По т.косинусов -cos угла ВМС=[ВС*- (ВМ*+МС*)]/2BM•BC⇒

cos ∠BMC=18/54=1/3

Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.

S ABMD= AD•DM•sin ADM

sin2 α + cos2 α = 1⇒

sin ∠ADM=√(1-1/9)=√8/3=2√2/3

S ABMD=18•3•2√2•3=36√2 см²

S∆ ABD=SABMD/2=18√2

В трапеции треугольники, образованные при пересечении диагоналей, подобны. k=DC/АВ=27/18=3/2

Тогда DB=DK+KB=5 частей АН- общая высота треугольников АКD и АDВ .

Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.

S ∆ ADK=3/5 S∆ADB=3•18√2/5=54√2/5=10,8√2 см²

------Примечание. Это один из вариантов решения этой задачи. Другой дан мной 6.03 этого года.

Втрапеции авсd отрезки ав и сd являются основаниями. диагонали трапеции пересекаются в точке к. найд

0,0(0 оценок)

Ответ:

евол

09.06.2023 02:38

Как известно, у параллелограмма противоположные стороны равны. Поэтому, мы можем попробовать составить два вектора - AB и CD
если они параллельны друг другу, то будет выполняться условие AB=CD*n
где n-некое число

AB=(-2-(-5);3-(-6))=(3;9)
CD=(7-10;0-9)=(-3;-9)

Как видно, AB=CD*-1, поэтому вектора AB и CD параллельны

Проверим это же условие для сторон AD и BC
AD=(7-(-5);0-(-6))=(12;6)
BC=(10-(-2);9-3)=(12;6)

Как видно, вектора AD и BC параллельны

Есть еще одно условие: если диагонали четырехугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам, то четырехугольник - параллелограмм.

Для этого найдем координаты середин отрезков AC и BD

$AC: x=\frac{-5+10}{2} =2.5;y= \frac{-6+9}{2} =1.5; (2.5;1,5)$
$BD: x= \frac{-2+7}{2} =2.5; y= \frac{3}{2} =1.5; (2.5;1.5)$

Как видно, обе диагонали имеют середины в одной и той же точке

Учитывая все доказательства выше, можно говорить, что ABCD - параллелограмм

Длины всех сторон можем найти, посчитав длины векторов выше

AB=(3;9)
$|AB|= \sqrt{3^2+9^2} =\sqrt{90}=3\sqrt{10}$
CD=(-3;-9)
$|CD|= \sqrt{(-3)^2+(-9)^2} =\sqrt{90}=3\sqrt{10}$
AD=(12;6)
$|AD|= \sqrt{12^2+6^2} =\sqrt{180}=6\sqrt{5}$
BC=(12;6)
$|BC|= \sqrt{12^2+6^2} =\sqrt{180}=6\sqrt{5}$