Дано:
ABCD — параллелограмм,
BC= 6 см, BA= 12 см,
∡ B равен 60°.

Найти: площадь треугольника S(ABC) и площадь параллелограмма S(ABCD).

SΔABC=
3–√ см2;

S(ABCD)=
3–√ см2.

Как правило, такое краткое условие дается с  рисунком. Понимается так: Сечение  конуса  образует равносторонний треугольник АВС  с основанием АС. Радиус основания конуса 10, образующая 12.   ОК⊥АС. Требуется найти высоту конуса ВО и длину отрезка ОК  

По условию ∆ АВС -равносторонний, боковые стороны равны 12, а диаметр основания равен 10•2=20. Следовательно, АВС не является осевым сечением конуса. Соединим центр О основания  с А и С. 

Треугольник АОС равнобедренный, АС=L=12 (из условия);   высота ОК делит его на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой, равной R=10, и катетами АК=АС:2=6 и ОК  (его длину нужно найти). 

Отношение АК:ОА=6:10=3:5, следовательно, ∆ АОК "египетский, его катет ОК=8 ( можно найти по т.Пифагора)

Высота  ВО конуса  перпендикулярна основанию и проецируется в его центр. ∆ ВОС - прямоугольный. Катет ОС=R=10, гипотенуза ВС=12. 

По т.Пифагора ВО=√(ВС²-ОС²)=√(144-100)=2√11

Дано:  ABCD  – параллелограмм,  AM : MB = 3 :1 ,  AN : ND = 2 : 3 ,  DM ∩ CN = P .  Найти: 
DP : PM . 
Решение. 
Продолжим  BA  и  CN  до пересечения в точке  K . 
ANK ∼ NCD   ( A
∠ NK = D
∠ NC  – вертикальные  углы;  A
∠ KN = NCD
∠
 – накрест  лежащие 
при  BK CD  и секущей  CK ). 
AK
AN
2
=
=
2
,  AK = CD . 
CD
ND
3
3
3
3
AM = AB = CD . 
4
4
2
3
17
KM = AK + AM = CD + CD =
CD . 
3
4
12
KMP ∼ CDP   ( M
∠ PK = C
∠ PD  – вертикальные  углы;  M
∠ KP = PCD
∠
 – накрест  лежащие 
при  BK CD  и секущей  CK ). 
DP
CD
CD
12
=
=
=
12
.     ответ: 
. 
PM
MK
17
17
CD
17
12