Дан восьмиугольник abcdefgh площадь четырехугольника bceg равна 18 * (5 + 2 * sqrt(2)) необходимо найти периметр всего восьмиугольника

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен φ. Найти угол между диагональю прямоугольника и его большей

Дано:

ABCD — прямоугольник,

AC ∩ BD=O,

∠AOD=φ.

Найти: ∠ACD.

Решение:



1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).

ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika raven

2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Тогда

\[\angle OCD = \frac180}^o} - \angle AOD}}{2} = \frac180}^o} - ({{180}^o} - \varphi )}}{2} = \]

\[ = \frac180}^o} - {{180}^o} + \varphi }}{2} = \frac{\varphi }{2}.\]

(как угол при основании равнобедренного треугольника).

\[\angle ACD = \angle OCD = \frac{\varphi }{2}.\]

ответ: φ/2.



ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.

∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,

∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.

Задача 2. (обратная к задаче 1)

Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший угол между диагоналями прямоугольника.

ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Угол при вершине равнобедренного треугольника

∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.

2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),

∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.

ответ: 2α.

Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.

По теореме, сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Значит,

1) С=180°-(А+В)=180°-(50°+60°)=180°-110°=70°;

2) Е - прямой угол, значит равен 90°, F=180°-(E+D)=180°-(90°+20°)=180°-110°=70°;

3) по свойству равнобедренного треугольника (MK=ML по условию) K=L, K+L=180°-M=180°-40°=140°, K=L=140°:2=70°;

5) по свойству равнобедренного треугольника (AB=CB по условию) А=С, В - прямой угол, значит равен 90°, А+С=180°-В=180°-90°=90°, А=С=90°:2=45°.

Объяснение:

по теореме о сумме углов треугольника и свойству равнобедренного треугольника.