Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС - в точке В1. Найти длину отрезка А1В1, если АВ=8 см, АА1 : А1С=5:3.

1)Треугольник АВС - прямоугольный,
 уголС=90, уголА=60, уголВ=90-60=30, АС=12, АВ=2АС=2*12=24, ВМ=4, АМ=АВ-ВМ=24-4=20, КМ перпендикулярна АВ (точка К на продолжении АС), треугольник АМК прямоугольный, уголАКМ=90-уголА=90-60=30, АМ=20=катет, АК гипотенуза=2*АМ=2*20=40, СК=АК-АС=40-12=28.
2)Из прямоугольных треугольников ВАА1 и АСС1 имеем  угол А = углу В. Треугольник АВС равнобедренный. СС1 - биссектриса=высота. А расстояние от любой точки биссектрисы до сторон угла одинаковые. Т.е. тоска О одинаково удалена от АС, ВС и АВ. , но в то же время СС1 и АА1 - высоты. Т.е. треугольник АВС - равносторонний.  Периметр его равен 6 см.

Та как диагональ перпендикулярна боковой стороне параллелограмма она будет являться высотой данного параллелограмма
Площадь параллелограмма S=a*h (где a – сторона h – высота)
Выразим из формулы высоту:
h=S/a
h=12/4=3
Рассмотрим треугольник образованный боковой стороной параллелограмма, диагональю и основанием. Данный треугольник прямоугольный с гипотенузой равной основанию параллелограмма.
По теореме Пифагора гипотенуза равна с= √(a^2+h^2) (где a и h – катеты)
с= √(4^2+3^2)= √(16+9)= √25= 5
ответ: основание данного параллелограмма равна 5