Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , где DB 1 = 13 и С C 1 = 5 см соответственно.
Найдите угол между В 1 D и гранью АВСD.

Треугольник с вершинами в серединах сторон состоит из средних линий.
Средняя линия соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Следовательно периметр теругольника, образованного средними линиями (P_m=16) равен половине периметра исходного треугольника.
P= 2P_m =16*2 =32

3x+4x+5x=32 <=> 12x=32 <=> x=32/12=8/3

Cтороны равны
a=3x=8
b=4x=32/3
c=5x=40/3 (гипотенуза, большая сторона)

Треугольник с соотношением сторон 3:4:5 - прямоугольный (египетский треугольник).
S= ab/2 =8*32/3*2 =128/3  ~42,7 (см^2)

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301