ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 Если точка начала какого-либо вектора , то говорят, что вектор отложен от точки (рис. 1).
сложение векторов по правилу параллелограмма или треугольника
ТЕОРЕМА 1 От любой точки можно отложить вектор единственный .
Существование: Имеем два следующих случая:
Вектор - нулевой.
Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором .
Вектор не является нулевым.
Пусть точка является началом вектора , а точкой - конец вектора . Проведем через точку прямую параллельную вектору . Будем откладывать на прямой отрезки и . Рассмотрим векторы и . Из этих двух векторов нужный нам вектор -- вектор, сонаправленный с вектором (рис.2)
Рисунок 2.
Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.
Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
СУММОЙ ДВУХ ВЕКТОРОВ и называется третий вектор , проведенный из начала к концу , если начало вектора совпадает с концом вектора .
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
сложение векторов по правилу параллелограмма или треугольника
СУММОЙ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ ,, называется вектор , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.
Такая операция выполняется по правилу многоугольника.
сумма нескольких векторов
КОММУТАТИВНЫЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ
АССОЦИАТИВНЫЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ
СУММА ВЕКТОРОВ В КООРДИНАТАХ
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
Отметим несколько свойств сложения двух векторов:
Для произвольного вектора выполняется равенство
Для произвольных точек
и
справедливо следующее равенство
ЗАМЕЧАНИЕ Таким также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.
сумма нескольких векторов
Разность векторов. Вычитание векторов
РАЗНОСТЬЮ ДВУХ ВЕКТОРОВ и называется вектор при условии:
, если
РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ и равна сумме вектора и противоположного вектора :
вычитание векторов
РАЗНОСТЬ ДВУХ ОДИНАКОВЫХ ВЕКТОРОВ равна НУЛЕВОМУ ВЕКТОРУ :
По условию т.А перемещается в т.В поворотом, значит обе они лежат на одной окружности с центром поворота О' и радиусом О'А=О'В.
Аналогично т.С->т.Д, значит они тоже лежат на одной окружности с ц.п. О'' и радиусом О''С=О''Д.
Поскольку точки А, В, С, Д принадлежат прямоугольнику и являются его вершинами, то они должны лежать на общей описанной окружности с единственным центром О'=О''=О, только тогда одновременно выполняется О'А=О'В==О''С=О''Д
Векторы: , , , ,
Нулевой вектор:
Координаты векторов: , , , , ,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 Если точка начала какого-либо вектора , то говорят, что вектор отложен от точки (рис. 1).
сложение векторов по правилу параллелограмма или треугольника
ТЕОРЕМА 1 От любой точки можно отложить вектор единственный .
Существование: Имеем два следующих случая:
Вектор - нулевой.
Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором .
Вектор не является нулевым.
Пусть точка является началом вектора , а точкой - конец вектора . Проведем через точку прямую параллельную вектору . Будем откладывать на прямой отрезки и . Рассмотрим векторы и . Из этих двух векторов нужный нам вектор -- вектор, сонаправленный с вектором (рис.2)
Рисунок 2.
Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.
Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
СУММОЙ ДВУХ ВЕКТОРОВ и называется третий вектор , проведенный из начала к концу , если начало вектора совпадает с концом вектора .
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
сложение векторов по правилу параллелограмма или треугольника
СУММОЙ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ ,, называется вектор , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.
Такая операция выполняется по правилу многоугольника.
сумма нескольких векторов
КОММУТАТИВНЫЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ
АССОЦИАТИВНЫЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ
СУММА ВЕКТОРОВ В КООРДИНАТАХ
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
Отметим несколько свойств сложения двух векторов:
Для произвольного вектора выполняется равенство
Для произвольных точек
и
справедливо следующее равенство
ЗАМЕЧАНИЕ Таким также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.
сумма нескольких векторов
Разность векторов. Вычитание векторов
РАЗНОСТЬЮ ДВУХ ВЕКТОРОВ и называется вектор при условии:
, если
РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ и равна сумме вектора и противоположного вектора :
вычитание векторов
РАЗНОСТЬ ДВУХ ОДИНАКОВЫХ ВЕКТОРОВ равна НУЛЕВОМУ ВЕКТОРУ :
По условию т.А перемещается в т.В поворотом, значит обе они лежат на одной окружности с центром поворота О' и радиусом О'А=О'В.
Аналогично т.С->т.Д, значит они тоже лежат на одной окружности с ц.п. О'' и радиусом О''С=О''Д.
Поскольку точки А, В, С, Д принадлежат прямоугольнику и являются его вершинами, то они должны лежать на общей описанной окружности с единственным центром О'=О''=О, только тогда одновременно выполняется О'А=О'В==О''С=О''Д
Угол поворота СОД= 180-2*ОСД= 180-2(90-ВСО)=180-2(90-20)=40°