50
построить прямоугольный параллелепипед mnklm1n1k1l1
используя построенный параллелепипед:
указать прямую, скрещивающуюся с прямой mn;
построить и записать угол между прямой m1l и n1k;
доказать, что m1n1||lk;
доказать, что kk1||(mm1l1);
указать пару параллельных плоскостей.
часть 2
(каждое оценивается 2 )
отрезок ав пересекает некоторую плоскость в точке м. через точки а и в проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость в точках а1 и в1. докажите, что точки а1, в1, м лежат на одной прямой. найдите отрезок ав, если аа1=18 см, вв1= 6 см, ам = 12 см.
построить сечение тетраэдра sabc , проходящее через точки m, n, k (картинка)
часть 3
в параллелепипеде авсда1в1с1д1 точка м – середина ребра а1д1. постройте сечение, проходящее через точку м параллельно прямым вд1 и а1в1
А ничего хорошего не получится всего это решать с векторных методов.
Надо найти угол между векторами ВА = (1,8) и CD = (7,1) (я перевернул чертеж, или- если хотите, перечислил вершины против часовой стрелки, на ответ это не влияет)
Модули равны
ВА = корень(65); CD = корень(50);
скалярное произведение
(ВА,CD) = 1*7 + 8*1 = 15;
cos(AMD) = 15/корень(65*50) = 3/корень(130);
Это почти 75 градусов (точнее 74,7448812969422)
можете жаловаться :)))
Могу предложить решение и без векторов. Дело в том, что если из точки D провести прямую II CB, отложить на ней отрезок, равный СВ (пусть получилась точка D1) и соединить D1 и В, то CDD1B - параллелограмм. Поэтому угол АМD = угол АВD1, и нам достаточно найти AD1. Но если мы теперь опустим перпендикуляр на АО (точка К) из точки D1, то по построению точки D1 имеем АК = 7, КD1 = 6, АD1 = корень(7^2 + 6^2) = корень(85);
АВ и ВD1 мы уже знаем ВА = корень(65); BD1 = CD = корень(50);
Осталось только вычислить угол при между сторонами
корень(65) и корень(50), если третья сторона корень(85);
Первое, что можно сделать - сократить все стороны на равное число (преобразование подобия не меняет углы), делим все на корень(5)
имеем
корень(13) и корень(10), если третья сторона корень(17);
по теореме косинусов
17 = 13 + 10 - 2*корень(130)*cos(Ф); cos(Ф) = 3/корень(130)
удивительно похоже на предыдущий ответ :
ВС^2=AB^2+AC^2 - 2*AB*AC*cosA=11^2+8^2 - 2*11*8*cos60=121+64-2*88*1/2=97
BC=√97 см
б)
AC^2=AB^2+BC^2 - 2*AB*BC*cosB=13^2+7^2-2*13*7*cos60=169+49-2*13*7*1/2=127
АС=√127 см
2
теорема косинусов
а)
cos120= - cos60
NP^2=MN^2+MP^2 -2 MN*MP*cos120=7^2+15^2-2*7*15*(-cos60)=
=49+225-2*7*15*(-1/2)=379
NP=√379 см
б)
NP^2=
3
cos120= - cos60
а) меньшую диагональ (ВD)
лежит напротив острого угла <60
BD^2=6^2+8^2-2*6*8*cos60=36+64-2*48*(1/2)=52
BD=√52=2√13 см
б) большую диагональ (АС)
лежит напротив тупого угла <120
AC^2=6^2+8^2-2*6*8*cos120=36+64-2*48*(-1/2)=148
AC=√148=2√37 см
4
а) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;
14^2=8^2+10^2 -2*8*10*cos<A
196=64+100 - 160*cos<A
32= - 160*cos<A
cos<A= - 32/160 =-1/5= -0.2
б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.
20^2=12^2+14^2 -2*12*14*cos<B
400=144+196-336* cos<B
60 =-336* cos<B
cos<B = - 60/336 = - 5/28
5
диагональ (d)и две стороны (a) (b) образуют треугольник
значит третий угол треугольника <A=180-20-60=100 град
дальше по теореме синусов
a/sin20=b/sin60=d/sinA=25/sin100
a=sin20*25/sin100=0.3420*25/0.9848=8.7 см
b= sin60*25/sin100=√3/2*25/0.9848=22 см
6
угол <С=180-<A-<B=180-30-40=110
по теореме синусов
AC/sin<B=BC/sin<A=AB/sin<C=2R
AC/sin40=BC/sin30=16/sin110
AC=sin40*16/sin110= 0.6428 *16/0.9397=10.94 см =11 см
BC= sin30*16/sin110=1/2*16/0.9397= 8.5 см
радиус описанной окружности
AB/sin<C=2R
R= AB/(2*sin<C)=16 / (2*sin110)=8/ sin110 = 8.5 см
7
8
углы параллелограмма А и В - односторонние
<A - напротив диагонали d1
<B=180-<A - напротив диагонали d2
cosA= - cosB=
d1^2=a^2+b^2-2ab*cosA
d2^2= a^2+b^2-2ab*cosB = a^2+b^2-2ab*(-cosA)= a^2+b^2+2ab*cosA
d1^2+d2^2 = a^2+b^2-2ab*cosA + a^2+b^2 +2ab*cosA = a^2+b^2 + a^2+b^2 = 2 *( a^2+b^2 )
ДОКАЗАНО сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов (ЧЕТЫРЕХ)сторон
9
10
11
12
13
Вроде это, Заранее незочто