Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая окружность основания по хорде, равной 6 корням из 3 и стягивающей дугу 120°. Секущая плоскость составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем конуса.
Рисунок дает представление о соотношении размеров конуса. Отдельно сделаем рисунок основания конуса. Рассмотрим его. Треугольник АОС равнобедренный,
АС в нем - хорда - основание сечения АВС, АО и ОС - проекции образующих, ограничивающих сечение, и равны радиусу основания; ОН - расстояние от основания конуса до хорды.
Для решения нам нужно найти радиус ОА основания конуса и ВО- его высоту.
Рассмотрим треугольник АОС. Угол АОС =120°, углы ∠ОАС=∠ОСА=30° ∠AOH=60° АН=АС:2=3√3 АО=r=AH:sin(60)={3√3}:{(√3):2}=6 ОН противолежит углу 30° и равен половине АО ОН=6:2=3
Перейдем к основному рисунку. По условию сечение образует с плоскостью основания ∠45°. ∠ВНО=45°⇒ ∠НВО=45° Треугольник НОВ - прямоугольный равнобедренный. Отсюда ВО=ОН=3 Объем конуса равен 1/3 произведения площади основания на высоту: V=Sh:3=36π*3:3=36π ( единиц объема)
Cделаем рисунок, с ним гораздо легче следить за решением. Обозначим вершины треугольника классическими А, В, С. Из центра О опустим перпендикуляр на катет СВ. Он соединяет центр окружности с точкой К касания с СВ и равен радиусу. Отрезок гипотенузы АО также равен радиусу окружности.
Рассмотрим треугольники АВС и ВОК.
Они подобны: оба прямоугольные и имеют общий острый угол. Поэтому справедливо отношение: АС:ОК=АВ:ОВ ОВ=АВ-r Найдем АВ - гипотенузу треугольника АВС. Это египетский треугольник, и, поскольку АС =3, СВ=4, АВ будет равна 5. ( можно проверить по т. Пифагора), АС:ОК=АВ:ОВ
Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая окружность основания по хорде, равной 6 корням из 3 и стягивающей дугу 120°.
Секущая плоскость составляет с плоскостью основания угол в 45°.
Найдите объем конуса.
Рисунок дает представление о соотношении размеров конуса.
Отдельно сделаем рисунок основания конуса.
Рассмотрим его.
Треугольник АОС равнобедренный,
АС в нем - хорда - основание сечения АВС,
АО и ОС - проекции образующих, ограничивающих сечение, и равны радиусу основания;
ОН - расстояние от основания конуса до хорды.
Для решения нам нужно найти радиус ОА основания конуса и
ВО- его высоту.
Рассмотрим треугольник АОС.
Угол АОС =120°, углы ∠ОАС=∠ОСА=30°
∠AOH=60°
АН=АС:2=3√3
АО=r=AH:sin(60)={3√3}:{(√3):2}=6
ОН противолежит углу 30° и равен половине АО
ОН=6:2=3
Перейдем к основному рисунку.
По условию сечение образует с плоскостью основания ∠45°.
∠ВНО=45°⇒
∠НВО=45°
Треугольник НОВ - прямоугольный равнобедренный.
Отсюда ВО=ОН=3
Объем конуса равен 1/3 произведения площади основания на высоту:
V=Sh:3=36π*3:3=36π ( единиц объема)
Cделаем рисунок, с ним гораздо легче следить за решением.
Обозначим вершины треугольника классическими А, В, С.
Из центра О опустим перпендикуляр на катет СВ.
Он соединяет центр окружности с точкой К касания с СВ и равен радиусу.
Отрезок гипотенузы АО также равен радиусу окружности.
Рассмотрим треугольники АВС и ВОК.
Они подобны: оба прямоугольные и имеют общий острый угол.
Поэтому справедливо отношение:
АС:ОК=АВ:ОВ
ОВ=АВ-r
Найдем АВ - гипотенузу треугольника АВС.
Это египетский треугольник, и, поскольку АС =3, СВ=4, АВ будет равна 5. ( можно проверить по т. Пифагора),
АС:ОК=АВ:ОВ
3:r=5:(5-r)
5r=15-2r
8 r=15
r=1,875