4.21. 1) А(-3; -1), В(1; -1), C(1;-3), D(-3; -3); 2) А(4: 1), B(3; 5).
C(-1; 4), D(0; 0) деп алып, ABCD төртбұрышының тіктөртбұрыш болатын
нын дәлелдендер.​

Треугольники МВС и АМР подобны, и ВС/AP = 1/2; => CM/AM = 1/2; откуда AM = 2*CM; AC = AM + CM = 2*CM + CM = 3*CM; СМ = AC/3;
подобны и треугольники ВОС и AOD, и CO/OA = BC/AD = 1/4; то есть AO = 4*CO; AC = AO + OC = 4*OC + OC = 5*AC; CO = AC/5;
отсюда MO = CM - CO = AC*(1/3 - 1/5) = AC*2/15;
Точно так же показывается, что NO = BD*2/15; (ясно, что BO = DO/4; откуда BD = BО  +OD = BO + 4*BO = 5*BO; а из подобия треугольников BNC и PMD => BN/ND = BC/PD = 1/2; ND = 2*BN; BD = ND + BN = 3*BN; далее ON = BN - BO = BD*(1/3 - 1/5) = BD*2/15); 
Если провести CК II BD, точка К лежит на продолжении AD, то BDKC – параллелограмм, и CK = BD; и угол AOD = угол ACK;
треугольник ACK подобен треугольнику MON, потому что соответственные стороны пропорциональны (NO = BD*2/15 = CK*2/15; MO = AC*2/15, угол AOD = угол ACK). Коэффициент подобия равен 2/15. 
Поскольку  AK = AD + BC, площадь треугольника ACK равна H*(AD + BC)/2, где H – расстояние от С до AD, то есть – высота трапеции. 
То есть площадь ACK равна площади трапеции S. 
Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 50*4/225 = 8/9;

В равнобедренном треугольнике равны не только боковые стороны, но и прилежащие к основанию углы. Рассмотрим на треугольнике MFE, где MF=FE. Опустим высоту FH. Треугольник MFH=EFH (они оба прямоугольные, FH-общая, MF=EF по условию.). Значит угол М равен углу Е. Т.е. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Начертим треугольник ABC. Пусть равными высотами будут высоты AA1 и CC1. Треугольники ACC1 и  CAA1 прямоугольные и имеют равные катеты (AA1 = CC1) и общую гипотенузу (AC), значит они равны по катету и гипотенузе. Т.к. треугольники ACC1 и  CAA1 равны, углы A и C равны., значит АВ=СВ, следовательно треугольник равнобедренный.