В правильной усеченной четырехугольной пирамиде диагонали оснований равны 10 см и 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти высоту усеченной пирамиды.
Объяснение:
1) АВСDA₁B₁C₁D₁- усеченная пирамида , Точки О и О₁ -точки пересечения диагоналей оснований Т.к пирамида правильная , то основания кавдраты.
АВСD- нижнее основание , по т. Пифагора АВ=√(10²:2)=5√2 (см).
A₁B₁C₁D₁-верхнее основание , по т. Пифагора A₁B₁=√(6²:2)=3√2 (см).
2) Проведем через точки О и О₁ отрезки МН и М₁Н₁ перпендикулярно сторонам квадратов.Тк О₁Н₁ ⊥ВС, то SH⊥ВС по т. о трех перпендикулярах . Поэтому линейным углом между плоскостью боковой грани и плоскостью основания будет ∠НН₁М=60°.
3) Рассмотрим сечение , проходящее через МН и М₁Н₁ перпендикулярно сторонам основаниям. В сечении получилась равнобедренная трапеция ММ₁Н₁Н.
Проведем высоты М₁К и Н₁Р в трапеции . Тогда КР=М₁Н₁ =3√2 см , а МК=РН=( 5√2-3√2):2=√2 (см).
Грань АА1С1С - квадрат.
АС по т.Пифагора равна 20. В призме все боковые ребра равны. ⇒ ВВ1=СС1=АА1=АС=20.
По условию боковые ребра пирамиды АВ1СВ равны, значит, их проекции равны между собой и равны радиусу окружности, описанной около основания АВС. ⇒
Вершина пирамиды В1 проецируется в центр Н описанной около прямоугольного треугольника окружности, т.е. лежит в середине гипотенузы.
∆ АВС прямоугольный, R=АС/2=10.
АН=СН=ВН=10.
Высота призмы совпадает с высотой В1Н пирамиды.
По т.Пифагора
В1Н=√(BB1²-BH²)=√(20²-10²)=√300=10√3
Формула объёма призмы
V=S•h где S - площадь основания, h - высота призмы.
S-12•16:2=96 (ед. площади)
V=96•10√3=960√3 ед. объёма.
В правильной усеченной четырехугольной пирамиде диагонали оснований равны 10 см и 6 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти высоту усеченной пирамиды.
Объяснение:
1) АВСDA₁B₁C₁D₁- усеченная пирамида , Точки О и О₁ -точки пересечения диагоналей оснований Т.к пирамида правильная , то основания кавдраты.
АВСD- нижнее основание , по т. Пифагора АВ=√(10²:2)=5√2 (см).
A₁B₁C₁D₁-верхнее основание , по т. Пифагора A₁B₁=√(6²:2)=3√2 (см).
2) Проведем через точки О и О₁ отрезки МН и М₁Н₁ перпендикулярно сторонам квадратов.Тк О₁Н₁ ⊥ВС, то SH⊥ВС по т. о трех перпендикулярах . Поэтому линейным углом между плоскостью боковой грани и плоскостью основания будет ∠НН₁М=60°.
3) Рассмотрим сечение , проходящее через МН и М₁Н₁ перпендикулярно сторонам основаниям. В сечении получилась равнобедренная трапеция ММ₁Н₁Н.
Проведем высоты М₁К и Н₁Р в трапеции . Тогда КР=М₁Н₁ =3√2 см , а МК=РН=( 5√2-3√2):2=√2 (см).
ΔРНН₁ -прямоугольный , tg60°=PН₁ /PH , √3=PН₁ /√2 , PН₁ =√6 см.
Поэтому высота усеченной пирамиды √6 см.