Решение: Найдем величины отрезков АМ, MN и ND. Их сумма равна 16,5, а отношение 1:17:15, то есть х+17х+15х=33х=16,5. Отсюда х=0,5. Тогда АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5. Опустим перпендикуляр РН из точки Р на сторону АD. Это высота треугольника МNР. Тогда из подобия треугольников ALN и НРN (РН параллельна АВ) имеем: РН/AL=HN/AN. или НN=AN*PH/AN или HN=9*РН/5 (1). Из подобия треугольников CMD и PMН (РН параллельна CD) имеем: РН/CD=MH/MD. или MН=MD*PH/CD или MH=16*РН/10 или MH=1,6*РН (2). MH+HN=8,5 или МН=8,5-HN (3). Приравниваем (2) и (3): 1,6*РН=8,5-HN или HN=8,5-1,6*PH (4). а теперь приравняем (1) и (4): 9*РН/5=8,5-1,6*PH или 9*РН=42,5-8РН или 17РН=42,5. Отсюда РН=2,5. Итак, высота треугольника MNР равна 2,5, а его основание равно 8,5. Следовательно, площадь треугольника MNР равна Smnр=(1/2)*8,5*2,5=10,625. ответ: площадь треугольника MNР равна 10,625 ед².
Решение координатным методом: Пусть начало координат в точке А(0;0). Величины отрезков АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5. Тогда координаты точек M(0,5;0) и N(9;0). Имеем точки: L(0;5), M(0,5;0), N(9;0) и C(16,5;10). Напишем уравнения прямых, проходящик через две точки по формулам: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Точки C(16,5;10) и M(0,5;0) . Прямая СМ: (х-0,5)/16=(y-0)/10 или 10x-16y=5. (1) Точки L(0;5) и N(9;0) . Прямая LN: (х-0)/9=(y-5)/-5 или 5x+9y=45. (2) Координаты точки пересечения Р(х;y) найдем, решив систему двух уравнений (1) и
(2). 10x-16y=5 (1) 5x+9y=45 (2) или 10x-16y=5 (1) 10x+18y=90 (2). Вычтем из второго первое: 34y=85. y=2,5 тогда х=4,5. Итак, имеем точку Р(4,5;2,5) Координата y этой точки - это высота треугольника MNР. Зная основание MN = 8,5 этого треугольника, находим его площадь: Smnp=(1/2)*8,5*2,5=10,625 ед².
Треугольник АВС - прямоугольный, ∠В=90°, поскольку у в прямоугольнике все углы =90° Сумма углов любого треугольника 180°, в т.ч. и нашего треугольника АВС. ∠А+∠В+∠С=90° Поскольку по условию задания CAB=2*ACB, значит в треугольнике АВС ∠А=2*∠С, выходит 2*∠С+90°+∠С=180° 3*∠С=90° ∠С=30°. Значит ∠А=2*∠С=2*30°=60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС дальше: АС-гипотенуза, АВ и ВС - это катеты cos ∠А=АВ/АС sin ∠А=ВС/АС
cos ∠А=cos 60°=1/2=0,5 sin ∠А=sin 60°=√3/2=0,5√3
cos ∠А=АВ/АС 0,5=АВ/АС, отсюда АВ=0,5АС=0,5*10см=5см
sin ∠А=ВС/АС 0,5√3=ВС/АС, отсюда ВС=0,5АС√3=0,5*10√3=5√3 см
У прямоугольника противоположные стороны равны, значит АВ=СЕ=5 см ВС=АЕ=5√3 см
Периметр равен сумме длины всех сторон прямоугольника, то есть Периметр=АВ+ВС+СЕ+АЕ Периметр=5+ 5√3+ 5+5√3 Периметр=10+10√3 Периметр=10*(1+√3) см
Найдем величины отрезков АМ, MN и ND.
Их сумма равна 16,5, а отношение 1:17:15, то есть х+17х+15х=33х=16,5.
Отсюда х=0,5. Тогда АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5.
Опустим перпендикуляр РН из точки Р на сторону АD.
Это высота треугольника МNР.
Тогда из подобия треугольников ALN и НРN (РН параллельна АВ) имеем:
РН/AL=HN/AN. или НN=AN*PH/AN или HN=9*РН/5 (1).
Из подобия треугольников CMD и PMН (РН параллельна CD) имеем:
РН/CD=MH/MD. или MН=MD*PH/CD или MH=16*РН/10 или MH=1,6*РН (2).
MH+HN=8,5 или МН=8,5-HN (3).
Приравниваем (2) и (3):
1,6*РН=8,5-HN или HN=8,5-1,6*PH (4).
а теперь приравняем (1) и (4):
9*РН/5=8,5-1,6*PH или
9*РН=42,5-8РН или 17РН=42,5. Отсюда РН=2,5.
Итак, высота треугольника MNР равна 2,5, а его основание равно 8,5.
Следовательно, площадь треугольника MNР равна Smnр=(1/2)*8,5*2,5=10,625.
ответ: площадь треугольника MNР равна 10,625 ед².
Решение координатным методом:
Пусть начало координат в точке А(0;0).
Величины отрезков АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5.
Тогда координаты точек M(0,5;0) и N(9;0).
Имеем точки:
L(0;5), M(0,5;0), N(9;0) и C(16,5;10).
Напишем уравнения прямых, проходящик через две точки по формулам:
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).
Точки C(16,5;10) и M(0,5;0) .
Прямая СМ: (х-0,5)/16=(y-0)/10 или 10x-16y=5. (1)
Точки L(0;5) и N(9;0) .
Прямая LN: (х-0)/9=(y-5)/-5 или 5x+9y=45. (2)
Координаты точки пересечения Р(х;y) найдем, решив систему двух уравнений (1) и
(2).
10x-16y=5 (1)
5x+9y=45 (2) или
10x-16y=5 (1)
10x+18y=90 (2). Вычтем из второго первое: 34y=85.
y=2,5 тогда х=4,5.
Итак, имеем точку Р(4,5;2,5)
Координата y этой точки - это высота треугольника MNР.
Зная основание MN = 8,5 этого треугольника, находим его площадь:
Smnp=(1/2)*8,5*2,5=10,625 ед².
Сумма углов любого треугольника 180°, в т.ч. и нашего треугольника АВС.
∠А+∠В+∠С=90°
Поскольку по условию задания CAB=2*ACB, значит в треугольнике АВС
∠А=2*∠С, выходит
2*∠С+90°+∠С=180°
3*∠С=90°
∠С=30°.
Значит ∠А=2*∠С=2*30°=60°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС дальше:
АС-гипотенуза, АВ и ВС - это катеты
cos ∠А=АВ/АС
sin ∠А=ВС/АС
cos ∠А=cos 60°=1/2=0,5
sin ∠А=sin 60°=√3/2=0,5√3
cos ∠А=АВ/АС
0,5=АВ/АС, отсюда АВ=0,5АС=0,5*10см=5см
sin ∠А=ВС/АС
0,5√3=ВС/АС, отсюда ВС=0,5АС√3=0,5*10√3=5√3 см
У прямоугольника противоположные стороны равны, значит
АВ=СЕ=5 см
ВС=АЕ=5√3 см
Периметр равен сумме длины всех сторон прямоугольника, то есть
Периметр=АВ+ВС+СЕ+АЕ
Периметр=5+ 5√3+ 5+5√3
Периметр=10+10√3
Периметр=10*(1+√3) см
ответ: периметр прямоугольника = 10*(1+√3) см