1.В треугольнике АВС , – биссектриса треугольника АВС, см. Найдите длину отрезка . 2.В прямоугольном треугольнике АВС , АВ = 7 см, АС = 14 см. Найдите углы, которые образует высота ВН с катетами треугольника.

1) с=√(а²+b²) = √(16+9) =5см.

Sinα = a/c = 0,8. α ≈ 53°.

Sinβ = b/c = 0,6. β ≈ 37°.

2) b=√(с²-а²) =√(169-144) =5см.

Sinα = a/c = 12/13 ≈ 0,923. α ≈ 67°.

Sinβ = b/c = 5/13 ≈ 0,385. β ≈ 23°.

3) α=30°, значит а=0,5·с = 20см (катет a против угла 30°).

b = √(c²-a²) = √(40²-20²) = 20√3.

β = 60°. (по сумме острых углов прямоугольного треугольника).

4) α=45°, значит β = 45°. а=b= 4см, с= √(а²+b²) = √32 = 4√2см.  

5) α=60°, значит β = 30°. (по сумме острых углов прямоугольного треугольника).  

с=2·b = 10см (катет b против угла 30°).

а = √(с²-b²)= √75 = 5√3см.

6) а=√(с²-b²)=√(100-36) = √64 = 8дм.

Sinα = a/c = 0,8. α ≈ 53°.

Sinβ = b/c = 0,6. β ≈ 37°.

Рассмотрим ∆ АВD и ∆ СВЕ

Оба прямоугольные и имеют общий острые угол АВС. 

Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.

Из подобия следует отношение 

ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒

ВЕ:ВС=ВD:АВ

Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий. 

2-й признак подобия треугольников:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. 

Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать. 

Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.