1. Точка А лежит на прямой ВС между точками В и С. Найдите длину
отрезка АВ, если ВС=15см, а отрезок АС на 3см меньше отрезка АВ.
2. Точка С лежит на прямой АВ между точками А и В. Найдите длину
отрезка АС, если АВ=20см, а отрезок ВС на 2 см больше отрезка АС.
3. Один из смежных углов в 2 раза больше другого. Чему равны эти углы?
4. Один из смежных углов на 20° больше другого. Чему равны эти углы?
5. Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых равен 42°.
Чему равны остальные углы?
6. Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых равен 65°.
Чему равны остальные углы? 7. Точка М – середина отрезка АВ, МВ = 3,4 см. Найдите длину отрезка
АВ.
8. Точка М – середина отрезка АВ равного 8,5 см. Найдите длину отрезка
МВ.
9. Сумма вертикальных углов, образованных при пересечении прямых
АВ и СD равна 104°. Найдите каждый из них.
10. Сумма вертикальных углов, образованных при пересечении прямых
АВ и СD равна 202°. Найдите каждый из них.
Два решения
1)
Из треугольников ABC, ACD соответственно по теор синусов
CAB=a
CAD=b
BC/sina=AC/sin(a+2b)
CD/sinb=AC/sin(2b+a)
но BC=CD , тогда
sina/sin(a+2b) = sinb/sin(b+2a)
sina*sin(b+2a) - sinb*sin(a+2b) = 0
cos(a-b-2a)-cos(b+3a) - cos(b-a-2b)+cos(a+3b)=0
cos(a+3b)=cos(b+3a)
a+3b=b+3a
2b=2a
a=b
CAB=CAD
2)
Пусть AECF точка O пересечения диагоналей и OE=OF рассмотрим симметрию относительно точки O, точка Е перейдет в точку F, точка B в точку D по определению симметрии так как CB=CD точка А перейдет в себя, тогда AB=AD тогда треугольники ABC=ACD откуда
180-2a-b=180-2b-a
3a=3b
a=b
Точки A-F-C лежат на прямой Симсона точки B относительно треугольника EGD.
Объяснение:
Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на прямой Симсона.
Точка B лежит на описанной окружности треугольника EGD (прямые углы EBG и EDG опираются на диаметр EG).
A и С - основания перпендикуляров из точки B на стороны треугольника EGD.
Тогда AC - прямая Симсона точки B относительно треугольника EGD.
(Прямая Симсона пересекает сторону EG в точке F, следовательно BF⊥EG)