Решение: Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то имеем четыре равных прямоугольных Δ-а: АВО, СВО, АДО и СДО (где т.О - точка пересечения диагоналей).
Рассмотрим один из них - ΔАВО: ∠АОВ=90°, АО=АС÷2=3√3 см, ВО=ВД÷2=9 см. Используя теорему Пифагора, узнаем длину гипотенузы АВ: АВ²=АО²+ВО²=(3√3)²+9²=9×3+81=108=27×4=3×9×4=6√3 см.
Мы имеем гипотенузу АВ в два раза бОльшую, чем катет АО, что согласно свойству прямоугольного треугольника позволяет нам сделать вывод, что ∠АВО=30°. Тогда ∠ВАО=180-90-30=60°.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, что даёт результат: ∠ВАС=∠ВСД=60×2=120°, ∠АВС=∠АДС=30×2=60°. Задача решена.
Примечание: Определив длину гипотенузы, мы можем обратить внимание, что АВ=АС, т.е. каждая из сторон ромба (которые равны между собой по определению) равна меньшей диагонали. Значит, ΔАВС=ΔАДС, они равносторонние, и их углы равны 60°. Что даёт нам те же 60 и 120 градусов углов ромба.
2. Абсолютно аналогично 1). получаем:
АВ²=5²+(5√3)²=25+75=100, АВ=10 см, что опять таки равно диагонали (или в два раза больше катета, кому как нравится). ⇒
Таблицы не вижу. Признаки равенства треугольников таковы:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника равны соответствующей стороне и прилегающим углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Отсюда, кстати, вытекают следствия для равенства прямоугольных треугольников.
1. Если два катета одного прямоугольного треугольника равны катетам другого треугольника то они равны. 2. Если катет и острый угол одного треугольника равны катету и острому углу другого треугольника, то они равны. 3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника то они равны. 4. Если катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого треугольника то они равны. 5. Если гипотенуза одного равнобедренного треугольника равна гипотенузе другого равнобедренного треугольника, то они равны. И т.д.
60° и 120°
Объяснение:
1). Дано: АВСД - ромб; АС=6√3 см; ВД=18 см.
Найти углы ромба.
Решение: Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то имеем четыре равных прямоугольных Δ-а: АВО, СВО, АДО и СДО (где т.О - точка пересечения диагоналей).
Рассмотрим один из них - ΔАВО: ∠АОВ=90°, АО=АС÷2=3√3 см, ВО=ВД÷2=9 см. Используя теорему Пифагора, узнаем длину гипотенузы АВ: АВ²=АО²+ВО²=(3√3)²+9²=9×3+81=108=27×4=3×9×4=6√3 см.
Мы имеем гипотенузу АВ в два раза бОльшую, чем катет АО, что согласно свойству прямоугольного треугольника позволяет нам сделать вывод, что ∠АВО=30°. Тогда ∠ВАО=180-90-30=60°.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, что даёт результат: ∠ВАС=∠ВСД=60×2=120°, ∠АВС=∠АДС=30×2=60°. Задача решена.
Примечание: Определив длину гипотенузы, мы можем обратить внимание, что АВ=АС, т.е. каждая из сторон ромба (которые равны между собой по определению) равна меньшей диагонали. Значит, ΔАВС=ΔАДС, они равносторонние, и их углы равны 60°. Что даёт нам те же 60 и 120 градусов углов ромба.
2. Абсолютно аналогично 1). получаем:
АВ²=5²+(5√3)²=25+75=100, АВ=10 см, что опять таки равно диагонали (или в два раза больше катета, кому как нравится). ⇒
∠В=∠Д=60°; ∠А=∠С=120°.
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника равны соответствующей стороне и прилегающим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Отсюда, кстати, вытекают следствия для равенства прямоугольных треугольников.
1. Если два катета одного прямоугольного треугольника равны катетам другого треугольника то они равны.
2. Если катет и острый угол одного треугольника равны катету и острому углу другого треугольника, то они равны.
3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника то они равны.
4. Если катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого треугольника то они равны.
5. Если гипотенуза одного равнобедренного треугольника равна гипотенузе другого равнобедренного треугольника, то они равны.
И т.д.