Дуга АВ составляет 135°, а ее длина равна a. Найдите длину хорды AB

Пусть точка С расположена между точками D и Е, то есть С ближняя к точке Е, а В дальняя от точки Е вершины треугольника АВС. Угол АВС - вписанный в окружность, он измеряется половиной дуги АС. Угол ЕАС - угол между хордой и касательной, он тоже измеряется половиной дуги АС. Значит (угол ЕАС) =(угол АВС) . Так, как АD биссектриса угла ВАС, то (угол ВАD)=(угол DАС) .
(Угол ЕАD)=(угол ЕАС) +(угол CAD), (угол АDE)=(угол АВD)+(угол BAD) как внешний угол треугольника АВD. Значит (угол ЕАD)=(угол АDЕ) . Отсюда следует, что треугольник ЕАD равнобедренный, и АЕ=ЕD.

Срединный перпендикуляр диагонали АС прямоугольника АВСD пересекает сторону ВС и образует с ней угол, равный углу между диагоналями. Найдите этот угол. 

Срединный перпендикуляр проведен к точке пересечения диагоналей, которая делит их пополам. 

Обозначим его ОК. 

Треугольник КОС - прямоугольный. 

Боковые стороны треугольника СОD образованы равными половинами диагоналей, следовательно, он - равнобедренный. 

Проведем в нем высоту ОМ, она же – биссектриса ( свойство равнобедренного треугольника) и делит угол COD пополам. 

ОМ║КС ( углы КСМ=ОМС=90°)

∠ МОС=∠ОСК - накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей. .

Но угол МОС - половина угла СОD, который равен углу СКО. 

Следовательно, ∠КОС=2 ∠КСО. 

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°

Угол КСО=2 КСО=90°

∠КСО=90°: 3=30°

∠ СКО=60°