1. на рисунке изображены попарно неколлинеарные векторы →а, →b и→ c.
постройте векторы:
а) 3→а;
б) -2→b;
в) 3→a-2→b+→c.

2. на рисунке изображены векторы →а и →оа=k→a, →b и →ав=l→b, →a ║(это стрелочки вверх) →b.

найдите |→ob|, если |→а|=2, |→b|=3.

См. Объяснение.

Объяснение:

Доказательство.

1) ∠СОА треугольника АСО = ∠ВОD треугольника ОDВ  - так как эти углы являются вертикальными (образованы пересечением двух прямых и лежат друг напротив друга).

2) ∠АСО треугольника АСО = ∠ВDО треугольника ОDВ = 90° - согласно условию задачи (АС⊥ α и DB⊥α).

3) Сторона СО треугольника АСО = стороне ОD треугольника ОDВ

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, ΔАСО = ΔОDB.  

4) В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Сторона АС треугольника АСО и сторона DB треугольника ОDВ лежат против равных углов (∠СОА = ∠ВОD) - значит, АС = DB.

ВЫВОД: так как АС - это кратчайшее расстояние от точки А до прямой α (перпендикуляр является кратчайшим расстоянием) и DB - это также кратчайшее расстояние от точки B до прямой α, то это означает, что точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от прямой α.

Трапеция ABCD с основанием AD вписана в окружность с центром О.Найдите углы трапеции,если ∠AOD=100°,∠BOC=80° и точка О лежит вне трапеции.

Объяснение:

Вписанная в окружность трапеция является равнобедренной.

Значит АВ=CD  стягивают равные дуги → ∪AB=∪CD

∠BOC=80° -центральный → ∪ВС=80°

∠AOD=100°--центральный → ∪АВD=100° ⇒ ∪AB=∪CD= =10°.

∠BAD вписанный и опирается на дугу ∪BCD=∪BC+∪CD=80°+10°=90°.

∠BAD=1/2*90°=45°. Значит ∠СDA=45° и ∠СВA=45° (углы при основании равны )

Сумма углов 4-х угольника 360°. Поэтому ∠АВС=∠ВСD= =135°