1. Катет, протилежний куту α, дорівнює...
2. Гіпотенуза дорівнює...
3. Перпендикуляр опущений з вершини трикутника на протилежну сторону називається...
4. Трикутник зі сторонами 3, 4, 5...
5. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між ...
6. Катет, прилеглий до кута α, дорівнює...
7. Сторона прямокутного трикутника, що лежить проти прямого кута...
8. Сума гострих кутів прямокутного трикутника...
9. Катет прямокутного трикутника, протилежний гострому куту в 30о ...
10. Висота прямокутного трикутника є середнім пропорційним між...
2. Використання знань на практиці
1. У прямокутному трикутнику катети відносяться як 12 до 5, а гіпотенуза 39см. Знайти катети.
2. Висоти двох вертикальних стовпів дорівнюють 5м і 12,5м. Відстань між ними 10м. Знайти найменшу довжину троса, яким можна з’єднати верхні кінці стовпів?
3. У трикутнику АВС висота ВD поділяє сторону АС на відрізки АD і DС.
ВC =6см, ∟А=30 о, ∟СВD=45 о. Знайдіть сторону АС трикутника.
4. З точки, що знаходиться на відстані 8см від прямої, проведено до неї дві
похилі, які утворюють з прямою кути 45 о і 60 о . Знайдіть відстань між
основами похилих. Скільки розв’язків має задача?
ответ: 5√3см
Объяснение: Обозначим вершины треугольника А В С, угол в=120°, а высоту АН. Сумма углов треугольника составляет 180°, поэтому можно найти угол С.
Угол С=180-120-3=30°. ∆АВС равнобедренный поскольку угол А= углу С, поэтому АВ=ВС=10см. Используя теорему косинусов найдём АС. АС²=АВ²+ВС²–2×АВ×ВС×cosB=
=10²+10²-2×10×10×cos120°=
=100+100-2×100×(-½)=200+100=300
AC=√300=√3×√100=10√3см
∆АСН. Он прямоугольный, где АН и СН катеты, а АС - гипотенуза. В прямоугольном треугольнике катет лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы. Этим катетом является высота АН, поэтому АН=10√3÷2=5√3см
Даны вершины треугольника A(−2,1), B(3,3), С(1,0). Найти:
а) длина стороны AB = √((3-(-2))² + (3-1)² = √(25 + 4) = √29.
б) уравнение медианы BM.
Находим координаты точки М как середины стороны АС.
М(((-2+1)/2; (1+3)/2) = (-0,5; 2).
Вектор ВМ = ((-0,5-3); (2-3)) = (-3,5; -1).
Уравнение ВМ: (х – 3)/(-3,5) = (у – 3)/(-1). Это в каноническом виде.
Оно же в общем виде 7у – 2х – 15 = 0.
И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (2/7)х + (15/7).
в) cos угла BCA.
Вектор СВ = ((1-3); (0-3)) = (-2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.
Вектор СА = ((1-(-2)); (0-1)) = (3; -1). Модуль равен √(9 + 1) = √10.
cos(BCA) = (-2*3 + (-3)*(-1))/( √13*√10) = -3/√130 ≈ -0,26312.
г) уравнение высоты CD.
Находим уравнение стороны АВ.
Вектор AB = ((3-(-2)); (3-1)) = (5; 2).
Уравнение АВ: (х + 2)/5 = (у -1)/2 или у = (2/5)х + (9/5).
Угловой коэффициент перпендикуляра к АВ (это высота СD) равен -1/(2/5) = -5/2. Подставим координаты точки С.
0 = (-5/2)*1 + b. Отсюда b = 5/2.
Уравнение CD: y = (-5/2)x + (5/2).
д) длина высоты СD.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = (A·Mx + B·My + C)/√A2 + B2
Подставим в формулу данные: координаты точки С(1; 0) и уравнение прямой АВ:
2х – 5у + 9 = 0.
d = (2·1 + (-5)·0 + 9)/√22 + (-5)2 = (2 + 0 + 9)/√4 + 25 =
= 11/√29 = 11√29/29 ≈ 2.0426487.
е) площадь треугольника АВС по векторам.
Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
S= ± (1 /2) *(x1−x3 y1−y3 )
(x2−x3 y2−y3 )
x1−x3 y1−y3
x2−x3 y2−y3
A(−2,1), B(3,3), С(1,0).
S = (1/2)}|((-2-1)*(3-0) – (1-0)*3-1))| = (1/2)*|(-9-2)| = 11/2 = 5,5 кв.ед.