ABCD - квадрат с стороной 4 см.Точка М отдалена от каждой вершины квадрата на 7 см. Найти расстояние от середины отрезка МА до вершин и сторон квадрата
Решение.
Сначала изобразим условие задачи графически.
Пирамида с меданами граней
Как видно из чертежа, точка М - представляет собой вершину правильной четырехугольной пирамиды. Точка К, явлющаяся серединой ребра АМ, Является точкой, к которой проведены медианы треугольников ADM, ABM и ACM. То есть медианы KC, KD и KB этих треугольников и являются расстояниями до вершин квадрата.
Таким образом, задача нахождения расстояний сводится к задаче нахождения длины этих медиан.
Для нахождения длины медиан применим теорему Стюарта.
mc2 = ( 2a2 + 2b2 - c2 ) / 4
Для треугольника ABM медиана KB
KB2 = ( 2AM2 + 2AB2 - AM2 ) / 4
KB2 = ( 2 * 7 2 + 2 * 4 2 - 7 2 ) / 4
KB2 = ( 98 + 32 - 49 ) / 4 = 81 / 4
KB = 4,5
Поскольку пирамида правильная, то для KD будет тот же результат KD = 4,5
Длина диагонали квадрата АС = 4√2 (по соответствующей формуле d = a√2 )
Для треугольника ACM медиана CK будет равна:
CK2 = ( 2AC2 + 2CM2 - AM2 ) / 4
CK2 = ( 2(4√2)2 + 2 * 72 - 72 ) / 4
CK2 = ( 64 + 98 - 49 ) / 4
CK = √113/2
Для нахождения расстояний до сторон квадрата изобразим задачу следующим образом:
piramida_m2.gif
Сначала определим высоту пирамиды:
MO2 = MA2 - OA2
Поскольку пирамида правильная, длина OA равна половине длины диагонали квадрата.
MO2 = 72 - ( 2√2 )2
MO = √41
Откуда длина отрезка KL по теореме Фалеса равна
KL = √41/2
(так как KA равно половине MA в треугольнике AOM или, если хотите, как средняя линия треугольника)
Аналогично,
LA = OA / 2 = √2
LA является диагональю квадрата, стороны которого равны расстоянию от точки L до сторон основания. Поскольку диагональ квадрата равна
d = a√2
то
LA = a√2
√2 = a√2
a = 1
То есть LF = 1
Тогда расстояние от точки K до стороны AD по теореме Пифагора будет равно:
KF2 = KL2 + LF2
KF2 = ( √41/2 )2 + 1
KF = √45 / 2 = 3√5 / 2
Теперь найдем расстояние до двух других сторон квадрата
KE2 = KL2 + LE2
заметим, что LE = FE - LF = AB - LF = 4 - 1 = 3
Откуда
KE2 = ( √41/2 )2 + 32
KE = √77 / 2
Ответ: расстояния до вершин квадрата равны 4,5 4,5 √113/2, а до сторон квадрата √77/2 и 3√5/2
Сначала изобразим условие задачи графически.
Пирамида с меданами граней
Как видно из чертежа, точка М - представляет собой вершину правильной четырехугольной пирамиды. Точка К, явлющаяся серединой ребра АМ, Является точкой, к которой проведены медианы треугольников ADM, ABM и ACM. То есть медианы KC, KD и KB этих треугольников и являются расстояниями до вершин квадрата.
Таким образом, задача нахождения расстояний сводится к задаче нахождения длины этих медиан.
Для нахождения длины медиан применим теорему Стюарта.
mc2 = ( 2a2 + 2b2 - c2 ) / 4
Для треугольника ABM медиана KB
KB2 = ( 2AM2 + 2AB2 - AM2 ) / 4
KB2 = ( 2 * 7 2 + 2 * 4 2 - 7 2 ) / 4
KB2 = ( 98 + 32 - 49 ) / 4 = 81 / 4
KB = 4,5
Поскольку пирамида правильная, то для KD будет тот же результат KD = 4,5
Длина диагонали квадрата АС = 4√2 (по соответствующей формуле d = a√2 )
Для треугольника ACM медиана CK будет равна:
CK2 = ( 2AC2 + 2CM2 - AM2 ) / 4
CK2 = ( 2(4√2)2 + 2 * 72 - 72 ) / 4
CK2 = ( 64 + 98 - 49 ) / 4
CK = √113/2
Для нахождения расстояний до сторон квадрата изобразим задачу следующим образом:
piramida_m2.gif
Сначала определим высоту пирамиды:
MO2 = MA2 - OA2
Поскольку пирамида правильная, длина OA равна половине длины диагонали квадрата.
MO2 = 72 - ( 2√2 )2
MO = √41
Откуда длина отрезка KL по теореме Фалеса равна
KL = √41/2
(так как KA равно половине MA в треугольнике AOM или, если хотите, как средняя линия треугольника)
Аналогично,
LA = OA / 2 = √2
LA является диагональю квадрата, стороны которого равны расстоянию от точки L до сторон основания. Поскольку диагональ квадрата равна
d = a√2
то
LA = a√2
√2 = a√2
a = 1
То есть LF = 1
Тогда расстояние от точки K до стороны AD по теореме Пифагора будет равно:
KF2 = KL2 + LF2
KF2 = ( √41/2 )2 + 1
KF = √45 / 2 = 3√5 / 2
Теперь найдем расстояние до двух других сторон квадрата
KE2 = KL2 + LE2
заметим, что LE = FE - LF = AB - LF = 4 - 1 = 3
Откуда
KE2 = ( √41/2 )2 + 32
KE = √77 / 2
Ответ: расстояния до вершин квадрата равны 4,5 4,5 √113/2, а до сторон квадрата √77/2 и 3√5/2