Заполни таблицу, зная зависимость между числами. Требуемое число равно половине данного числа. Данное число 8, 10, 12, 16. Половина данного числа ? ? ? ?
По определению факторгруппы, "a" эквивалентно "b" тогда и только тогда, когда
Выберем какой-нибудь элемент группы . Подсчитаем, сколько элементов из группы эквивалентно этому элементу
Понятно, что таких элементов ровно 4 штуки:
--
--
--
--
Докажем, что например
Действительно, иначе было бы
Отсюда , что попросту неверно в
Аналогично рассматриваются другие случаи. Таким образом, любому элементу эквивалентно ровно 4 элемента группы G(включая сам элемент ). К тому же, в группе содержится 20 элементов
Объяснение:
По определению факторгруппы, "a" эквивалентно "b" тогда и только тогда, когда![(a-b) \in H](/tpl/images/1358/1404/f6246.png)
Выберем какой-нибудь элемент группы
. Подсчитаем, сколько элементов из группы эквивалентно этому элементу
Понятно, что таких элементов ровно 4 штуки:
--![c-c=0 \in H](/tpl/images/1358/1404/48c86.png)
--![c-x=5 \in H \quad x = 5 - c](/tpl/images/1358/1404/e11a8.png)
--![c-y=10 \in H \quad y = 10 - c](/tpl/images/1358/1404/2a1ff.png)
--![c-z=15 \in H \quad z = 15 - c](/tpl/images/1358/1404/dfeec.png)
Докажем, что например![z \neq y](/tpl/images/1358/1404/414de.png)
Действительно, иначе было бы![15-c=10-c](/tpl/images/1358/1404/04ab8.png)
Отсюда
, что попросту неверно в ![G=Z/20Z](/tpl/images/1358/1404/1d1d6.png)
Аналогично рассматриваются другие случаи. Таким образом, любому элементу
эквивалентно ровно 4 элемента группы G(включая сам элемент
). К тому же, в группе
содержится 20 элементов
Таким образом, в факторгруппе содержится![\frac{20}{4}=5](/tpl/images/1358/1404/c8118.png)
заметим
1. x! (x > 4) оканчивается на 0 (x! = 1*2*...*(x-1)*x есть 2 и 5 в умножении)
2. квадраты чисел могут оканчиваться на цифры 0, 1, 4, 5, 6, 9
1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1*2 + 1*2*3 + 1*2*3*4 = 1 + 2 + 6 + 24 = 33
после 4-х решений нет
33 - не квадрат, далее числа, которые оканчиваются на 3, что тоже не может быть квадратом
Смотрим x=1, 2 , 3
1. x = 1
1 = y²
y = 1
y = -1
2. x = 2
1! + 2! = y²
y² = 3 нет решений в целых числах
3. х = 3
1! + 2! + 3! = y²
y² = 1 + 2 + 6 = 9
y = 3
y = -3
ответ (1,1) (1,-1) (3,3) (3,-3)