С производной построим график функции y=x3+12x2−27x.
1. Введём обозначение f(x)=x3+12x2−27x.
Найдём область определения функции D(f)=(−∞;+∞).
2. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
f′(x)=(x3+12x2−27x)′=3x2+24x−27.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, назывём стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, —критическими.
Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из соотношения f′(x)=0:
Критические и стационарные точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.
Если производная функции в критической (стационарной) точке:
1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка минимума;
2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка максимума;
3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
Итак, определим точки экстремума:
При x<−9 имеем положительную производную (на этом промежутке функция возрастает); при −9<x<1 имеем отрицательную производную (на этом промежутке функция убывает). Значит, x=−9 — точка максимума функции. При −9<x<1 имеем отрицательную производную, при
На промежутке [ - 2 ; 0 ] функция непрерывно возрастает, поэтому на этом промежутке f min = f(-2) = 1 и f max = f(0) = 5. E(f) = [ 1 ; 5 ] на промежутке [ - 2 ; 0 ]
На промежутке ( 0; 4 ] функция y=f(x) является квадратичной. Исследуем её график, для этого сначала определим координаты вершины параболы ( х ; y ) f(x) = (x-1)² + 4 = х² - 2х + 1 + 4 = х² - 2х + 5 По формуле координат вершины: х = -b / 2a = 2 / 2 = 1 y = f(1) = 1² - 2*1 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 Итак, координаты вершины параболы ( х ; y ) = ( 1 ; 4 ) , а т.к. старший коэффициент квадратичной функции положителен , то ветви параболы направлены вверх, а значит на промежутке ( 0; 4 ] f min = f(1) = 4 , а f max = f(4) = 4² - 2*4 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13.
E(f) = [ 4 ; 13 ] на промежутке ( 0; 4 ]
Значит на всей области определения E(f) = [ 1 ; 13 ]
<!--c-->
Преобразим заданное уравнение:
x3+12x2−27x=a
С производной построим график функции y=x3+12x2−27x.
1. Введём обозначение f(x)=x3+12x2−27x.
Найдём область определения функции D(f)=(−∞;+∞).
2. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
f′(x)=(x3+12x2−27x)′=3x2+24x−27.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, назывём стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, —критическими.
Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из соотношения f′(x)=0:
3x2+24x−27=0|÷3x2+8x−9=0D4=(b2)2−ac=822+9=25x1,2=−b2±D4−−√a=−82±25−−√1=−82±5x1=−82−5=−9x2=−82+5=1
Критические и стационарные точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.
Если производная функции в критической (стационарной) точке:
1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка минимума;
2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка максимума;
3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
Итак, определим точки экстремума:
При x<−9 имеем положительную производную (на этом промежутке функция возрастает); при −9<x<1 имеем отрицательную производную (на этом промежутке функция убывает). Значит, x=−9 — точка максимума функции. При −9<x<1 имеем отрицательную производную, при
Объяснение:
а)y=6/x-2
x-2 ≠ 0
x ≠ 2
D(f) = ( - oo ; 2 ) ∨ ( 2 ; + oo )
б)y=1/корень из 6-3x
6-3x > 0
-3x > - 6 | : ( -3)
х < 2
D(f) = ( - oo ; 2 )
в)y=корень из x^2-3x-4
x² - 3 x- 4 ≥ 0
x² - 3 x- 4 =0
х1+х2 = 3
х1х2 = -4
х1 = -1 , х2 = 4
D(f) = ( - oo ; -1 ) ∨ ( 4 ; + oo )
2. Дана функция y=f(x),где
f(x) = 2x+5, если -2
(x-1)² + 4 ,если 0< x
а) вычислите:f(-2), f(0), f(1), f(3)
f(-2) = 2*(-2) + 5 = -4 + 5 = 1
f(0) = 2*0 + 5 = 0 + 5 = 5
f(1) = (1-1)² + 4 = 0 + 4 = 4
f(3) = (3-1)² + 4 =4 + 4 = 8
б) найдите D(f) и E(f)
D(f) = [ - 2 ; 4 ]
На промежутке [ - 2 ; 0 ] функция непрерывно возрастает, поэтому на этом промежутке f min = f(-2) = 1 и f max = f(0) = 5.
E(f) = [ 1 ; 5 ] на промежутке [ - 2 ; 0 ]
На промежутке ( 0; 4 ] функция y=f(x) является квадратичной.
Исследуем её график, для этого сначала определим координаты вершины параболы ( х ; y )
f(x) = (x-1)² + 4 = х² - 2х + 1 + 4 = х² - 2х + 5
По формуле координат вершины: х = -b / 2a = 2 / 2 = 1
y = f(1) = 1² - 2*1 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4
Итак, координаты вершины параболы ( х ; y ) = ( 1 ; 4 ) , а т.к. старший коэффициент квадратичной функции положителен , то ветви параболы направлены вверх, а значит на промежутке ( 0; 4 ] f min = f(1) = 4 , а
f max = f(4) = 4² - 2*4 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13.
E(f) = [ 4 ; 13 ] на промежутке ( 0; 4 ]
Значит на всей области определения E(f) = [ 1 ; 13 ]