Само решение написано с красной строки, остальное (кроме ОДЗ) - пояснения.
ОДЗ: т.к. знаменатель не равен 0,
1)
2)
3)
Здесь задание на применение формулы разности квадратов, которая выглядит следующим образом: .
Перенесем все для удобства в левую часть.
Теперь приведем две первые дроби к общему знаменателю .
Запишем их в одну общую дробь.
Заметим, что в знаменателе вычитаемого тоже есть формула разности квадратов, т.е.
В уменьшаемом раскроем скобки в числителе с формул квадрата разности и квадрата суммы:
Раскроем скобки в числителе первой дроби еще раз и упростим получившееся выражение.
Теперь перенесем вычитаемое в правую часть и решим уравнение пропорцией.
Оба корня не подходят по ОДЗ => решений нет, ∈∅
ответ: ∈∅.
Само решение написано с красной строки, остальное (кроме ОДЗ) - пояснения.
ОДЗ: т.к. знаменатель не равен 0,
1)![2x+1\neq 0 = 2x\neq -1=x\neq -0,5](/tpl/images/4742/9722/4a55a.png)
2)![2x-1\neq 0=2x\neq 1=x\neq 0,5](/tpl/images/4742/9722/e8b43.png)
3)![1-4x^2\neq 0 = 4x^2\neq 1= x^2\neq \frac{1}{4}=x\neq 0,5](/tpl/images/4742/9722/08b81.png)
Здесь задание на применение формулы разности квадратов, которая выглядит следующим образом:
.
Перенесем все для удобства в левую часть.
Теперь приведем две первые дроби к общему знаменателю
.
Запишем их в одну общую дробь.
Заметим, что в знаменателе вычитаемого тоже есть формула разности квадратов, т.е.![1-4x^2=1^2-(2x)^2=(1-2x)(1+2x)](/tpl/images/4742/9722/b6d07.png)
В уменьшаемом раскроем скобки в числителе с формул квадрата разности и квадрата суммы:
1)![(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\](/tpl/images/4742/9722/16b10.png)
2)![(a-b)^2=a^2-2ab+b^2](/tpl/images/4742/9722/b5452.png)
Раскроем скобки в числителе первой дроби еще раз и упростим получившееся выражение.
Теперь перенесем вычитаемое в правую часть и решим уравнение пропорцией.
Оба корня не подходят по ОДЗ => решений нет,
∈∅
ответ:
∈∅.
4(1-sin²x) - 11sinx - 11 = 0
4 - 4sin²x - 11sinx - 11 = 0
- 4sin²x - 11sinx - 7 = 0
Замена sinx на у, получаем квадратное уравнение:
-4у² - 11у - 7 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=(-11)^2-4*(-4)*(-7)=121-4*(-4)*(-7)=121-(-4*4)*(-7)=121-(-16)*(-7)=121-(-16*(-7))=121-(-(-16*7))=121-(-(-112))=121-112=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√9-(-11))/(2*(-4))=(3-(-11))/(2*(-4))=(3+11)/(2*(-4))=14/(2*(-4))=14/(-2*4)=14/(-8)=-14/8=-1.75;
y_2=(-√9-(-11))/(2*(-4))=(-3-(-11))/(2*(-4))=(-3+11)/(2*(-4))=8/(2*(-4))=8/(-2*4)=8/(-8)=-8/8=-1.
Первый корень отбрасываем (больше 1)
sinx = -1 х = Arc sin(-1) = kπ + ((-1)^k)*(3π/2).
2)3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0
Делим обе части уравнения на cos^2x:
3tg²x + 8tgx + 4 = 0 Замена tgx = у. Получаем квадратное уравнение: 3у² + 8у + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=8^2-4*3*4=64-4*3*4=64-12*4=64-48=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√16-8)/(2*3)=(4-8)/(2*3)=-4/(2*3)=-4/6=-(2//3)≈-0.666666666666667;
y_2=(-√16-8)/(2*3)=(-4-8)/(2*3)=-12/(2*3)=-12/6=-2.
Обратная замена: tgx₁ = -2/3 х₁ = πn - arc tg(2/3) = πn - 0.5880026.
tgx₂ = -2 х₂ = πn - arc tg(2) = πn - 1.107149.
Остальные примеры решаются аналогично.