Войти Регистрация Спроси ai-bota

(y²-2xy)dx+x²dy=0 диф. уравнение

Показать ответ

Ответ:

astahovanadezh

13.09.2020 21:48

(y^2-2xy)dx+x^2dy=0

Разделим на :

$y^2-2xy+x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}= 0$

Разделим на x^2 :

$\dfrac{y^2}{x^2} -2\cdot\dfrac{y}{x} +\dfrac{dy}{dx}= 0$

$\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 -2\cdot\dfrac{y}{x} +y'= 0$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y=tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

t^2 -2t +t'x+t= 0

t^2 -t +t'x= 0

t'x= t-t^2

$x\cdot\dfrac{dt}{dx} = t-t^2$

$\dfrac{dt}{ t-t^2} =\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

Чтобы найти интеграл, стоящий в левой части, подынтегральную дробь представим в виде суммы составляющих:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{A}{t} +\dfrac{B}{1-t} =\dfrac{A(1-t)+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{A-At+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{(B-A)T+A}{t(1-t)}$

Дроби равны, знаменатели равны. Значит, равны и числители:

1=(B-A)t+A

Условие равенства:

$\begin{cases} A=1 \\ B-A=0 \end{cases}$

$\begin{cases} A=1 \\ B=A=1 \end{cases}$

Значит, дробь раскладывается на составляющие следующим образом:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{1}{t} +\dfrac{1}{1-t}$

Возвращаемся к интегрированию:

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t}+\int\dfrac{dt}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Для второй дроби выполним подведение под знак дифференциала:

$\int\dfrac{dt}{ t}-\int\dfrac{d(1-t)}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Интегрируем:

$\ln|t|-\ln|1-t|=\ln|x|-\ln|C|$

$\ln\left|\dfrac{t}{1-t}\right|=\ln\left|\dfrac{x}{C}\right|$

$\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{x}{C}$

Обратная замена:

$\dfrac{\frac{y}{x} }{1-\frac{y}{x} }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{y }{x-y }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{x-y }{y }=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }-1=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=1+\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=\dfrac{x+C}{x}$

$\boxed{y=\dfrac{x^2}{x+C}}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Dima890438

20.04.2021 12:09

Найдите координаты центра и радиус окружности: a) (x + 1)2 + (y - 3)2 = 25;6) (x + 5)2 + (y + 7)2 = 1;B) (x - 10)2 + (y + 1)2 = 16;r) (x - 4) + (y-5) = 144.У меня...

tweetyz

14.08.2020 16:18

Контрольна робота з алгебри за темою Показникова і логарифмічна функція , 11клас...

Annet483

03.11.2022 03:58

Нужно ваша буду очень благодарен...

salamov1213

02.09.2022 13:14

упростить выражение по тригонометрии....

alihanova1

24.06.2021 22:53

Sin75-sin15 дробная черта sin30cos15-sin30sin15...

theonestop1234

22.07.2020 22:49

Доказать, что для арифметической прогрессии справедливо равенство an-l + ak+l. найти а5+а10, если а7+а8=30. я решила, все сделала. мне просто нужна формулировка доказательства...

sagal63

23.08.2021 17:07

Сколько корней имеет уравнение 16xв 4-ой степени-81=0?...

Varvaralikhtsr1

04.10.2020 10:41

Укажите область определения и область значения...

santa34

25.02.2022 20:23

Найдите наименьшее значения функции f(x) =2x ^3-3x^2-36x на промежутке [-2; 1]...

Злая4Пташка4

19.10.2021 19:31

Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду номер 4...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку