ОДЗ : х² - 5х - 23 ≥ 0 2х² - 10х - 32 ≥ 0 Решение системы двух неравенств не так просто, поэтому при нахождении корней достаточно сделать проверку. Подставить корни в систему неравенств или подставить корни в уравнение
Так как 2х²-10х-32=2(х²-5х-16) то применяем метод замены переменной
х²-5х-23=t ⇒ x²-5x=t+23 x²-5x-16=t+23-16=t+7
Уравнение примет вид √t + √2·(t+7)=5
или
√2·(t+7) = 5 - √t
Возводим обе части уравнения в квадрат При этом правая часть должна быть положительной или равной 0 ( (5 - √t)≥0 ⇒√ t ≤ 5 ⇒ t ≤ 25)
2·( t + 7) = 25 - 10 √t + t
или
10·√t = 25 + t - 2t - 14
10·√t = 11 - t
Еще раз возводим в квадрат, при условии, что 11 - t ≥ 0 t ≤ 11 Получаем уравнение
100 t = 121 - 22 t + t², при этом t ≤ 11
t² - 122 t + 121 = 0
D=122²-4·121=14884 - 484 = 14400=120
t₁=(122-120)/2= 1 или t₂= (122+120)/2 = 121 не удовлетворяет условию ( t ≤ 11)
2х² - 10х - 32 ≥ 0
Решение системы двух неравенств не так просто, поэтому при нахождении корней достаточно сделать проверку.
Подставить корни в систему неравенств или подставить корни в уравнение
Так как
2х²-10х-32=2(х²-5х-16)
то применяем метод замены переменной
х²-5х-23=t ⇒ x²-5x=t+23
x²-5x-16=t+23-16=t+7
Уравнение примет вид
√t + √2·(t+7)=5
или
√2·(t+7) = 5 - √t
Возводим обе части уравнения в квадрат
При этом правая часть должна быть положительной или равной 0
( (5 - √t)≥0 ⇒√ t ≤ 5 ⇒ t ≤ 25)
2·( t + 7) = 25 - 10 √t + t
или
10·√t = 25 + t - 2t - 14
10·√t = 11 - t
Еще раз возводим в квадрат, при условии, что 11 - t ≥ 0 t ≤ 11
Получаем уравнение
100 t = 121 - 22 t + t², при этом t ≤ 11
t² - 122 t + 121 = 0
D=122²-4·121=14884 - 484 = 14400=120
t₁=(122-120)/2= 1 или t₂= (122+120)/2 = 121 не удовлетворяет условию ( t ≤ 11)
возвращаемся к переменной х:
х² - 5х - 23 = 1
х² - 5х - 24 = 0
D=25+96=121=11²
x₁=(5-11)/2=-3
х₂=(5+11)/2=8
Проверка
х = - 3 √(9 +15 - 23) + √2·(9 +15 - 16) = 5 - верно 1+4=5
х = 8 √(64 - 40 - 23) + √2·(64-40 -16) = 5 - верно 1+4=5
ответ. х₁=-3 х₂=8
1. При каких значениях а уравнение sin ^2 x - (a+3) sin x + 3a = 0 не имеет решений ?
2. Решите уравнение cos ^2 x + cos 4x = a , если одно из его решений п/3
Участник Знаний
1. Квадратное уравнение не имеет решений, если его дискриминант отрицателен.
\sin^2x-(a+3)\sin x+3a=0\\\sin x=t,\;\sin^2x=t^2,\;-1\leq t\leq1\\t^2-(a+3)t+3a=0\\D=(-(a+3))^2-4\cdot1\cdot3a=(a+3)^2-12a=a^2-6a+9=(a-3)^2\\(a-3)^2
Последнее неравенство не имеет решений. Значит, исходное уравнение имеет решение (-ия) при любых а.
2.\;\cos^2x+\cos4x=a\\\cos4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1\\\cos^2x+8\cos^4x-8\cos^2x+1=a\\8\cos^4x-7\cos^2x+(1-a)=0\\\cos^2x=t,\cos^4x=t^2,\;0\leq t\leq1\\8t^2-7t+(1-a)=0\\D=49-4\cdot8\cdot(1-a)=49-32+32a=17+32a\\t_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}
Один из корней п/3, значит x=\frac\pi3\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow\cos^2x=t=\frac14
\frac{7\pm\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\Rightarrow\begin{cases}\frac{7+\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\\\frac{7-\sqrt{17+32a}}{16}=\frac14\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{7+\sqrt{17+32a}}=4\\{7-\sqrt{17+32a}}=4\end{cases}\Rightarrow\\
\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{17+32a}=-3\\\sqrt{17+32a}=3\end{cases}\Rightarrow 17+32a=9\Rightarrow32a=-8\Rightarrow a=-\frac14=-0,25\\t_1=\frac{7+\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7+\sqrt{9}}{16}=\frac{10}{16}=\frac58\\t_2=\frac{7-\sqrt{17-32\cdot0,25}}{16}=\frac{7-\sqrt{9}}{16}=\frac{4}{16}=\frac14\\\cos^2x=\frac14\Rightarrow\cos x=\frac12\Rightarrow x=\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\\cos^2x=\frac58\Rightarrow\cos x=\sqrt{\frac58}\Rightarrow x=\arccos\left(\sqrt{\frac58}\right)+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}
Объяснение: