Впрямоугольном треугольнике с катетами 36 и 48 на гипотенузе взята точка. из нее проведены прямые, параллельные катетам. получится прямоугольник, вписанный в данный треугольник. где на гипотенузе надо взять точку, чтобы площадь такого прямоугольника была наибольшей?
х см и y см - стороны прямоугольника (x<36, y<48),
(36-x)/y = 36/48,
3y=4(36-x)
y=48-4/3 x,
S см^2 - площадь прямоугольника,
S=xy,
S(x)=x(48-4/3 x)=48x-4/3 x^2,
S'(x)=48-8/3 x
S'(x)=0, 48-8/3 x=0, -8/3 x=-48, x=18, - критическая точка
x<18, S'(x)>0, S(x) - возрастает,
x<18, S'(x)<0, S(x) - убывает,
при х=18 S(x)-max
y=48-4/3 *18=24,
c см - растояние от точки, взятой на гипотенузе, до вершины угла между гипотенузой и меньшим катетом,
с=sqrt(y^2+(36-x)^2)=sqrt(24^2+18^2)=sqrt(900)=30
sqrt(36^2+48^2)=sqrt(3600)=60 см - длина гипотенузы,
искомая точка - середина гипотенузы