Вариант 2. 1. Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее
членам: 1, 3
1
; 5
1
; 7
1
; 9
1
….
[1]
2. В арифметической прогрессии первый член 10 и разность d .
a) Найдите пятый член прогрессии и сумму первых пяти членов прогрессии.
[3]
b) Обозначим n-й член прогрессии через an. Найдите наименьшее натуральное число n
такое, что an >170.
[3]
3. Сумма трех чисел, представляющих возрастающую арифметическую прогрессию равна 21. Если к
ним, соответственно, добавить 2, 3, и 9 то образованные числа составят геометрическую прогрессию.
Найти наибольшее из искомых членов прогрессии.
[4]
4. Первый, второй и третий члены геометрической прогрессии соответственно равны
2k 8; k; k , где k - положительное число.
а) Найдите значение k .
b) Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
[4]
5. Работники получили задание выкопать колодец. За первый выкопанный в глубину метр колодца
им платят 2000 тг, а за каждый следующий – на 2000 тг больше, чем за предыдущий. Сколько денег
заплатят работникам за выкопанный колодец глубиной 12 м
1/p + 1/q +1/pq = 1/n. Преобразуем данное равенство к виду (1 + p + q)/pq =1/n => pq=n(1 + p + q) => 1 + p + q = pq/n. Поскольку 1 + p + q - натуральное число, то pq/n также натуральное, т. е. должно выполняться одно из условий: либо n = p, либо n = q, либо n = 1, либо n = pq. При n = pq, 1 + p + q = 1 => p + q = 0, что невозможно При n = p имеем 1 + p + q = q => 1 + p = q - q = 0, что невозможно. Точно так же при n = q, 1 + p + q = p => 1 + q = p - p = 0, что тоже невозможно. Остается вариант n = 1. Тогда 1 + p + q = pq => 1 = pq - p - q. Положим q < p = p - k, где k - натуральное. Тогда pq - p - q = p*(p - k) - p - p +k = p^2 - pk - 2p + k = 1 => p*(p - 2) - k*(p - 1) = 1 => k*(p - 1) = p*(p - 2) - 1 => k = (p^2 - 2p - 1)/(p - 1) = ((p - 1)*(p + 1) - 2p)/(p-1) = p + 1 - 2p/(p - 1). Видим, что 2p должно нацело делиться на p - 1. Т. е. либо p - 1 = 2p и тогда p = -1, что невозможно, либо p - 1 = 1, либо p - 1 = 2. Тогда p = 2 или p = 3. В свою очередь k = p + 1 - 2p/(p - 1) = 2 + 1 - 4 = 3 - 4 = -1 - не подходит, поскольку k - натуральное. Либо k = 3 + 1 - 6/2 = 4 - 3 = 1. Итак k = 1, значит q = p - k = 3 - 1 = 2. Тогда имеем решения: p = 3, q = 2 или p = 2, q = 3. Действительно, в этом случае pq - p - q = 2*3 - 2 - 3 = 6 - 5 = 1.
ответ: n = 1, p = 3, q = 2 или n = 1, p = 2, q = 3.
Математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке, есть середина отрезка и рассчитывается по формуле:
а дисперсия:
Решив систему уравнений
Подставим в плотность вероятности, получим окончательный ответ