Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия – Область определения функции. Активное обсуждение данного понятия началось в статье о множествах и продолжилось на первом уроке о графиках функций, где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.Предполагается, читатель знает область определения следующих функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, синуса, косинуса. Они определены на (множестве всех действительных чисел). За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) – более редкие графики запоминаются далеко не сразу.Область определения – вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной, навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения – это множество значений «икс», для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков: (для тех, кто позабыл: – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статьям Множества и действия над ними, Графики и свойства элементарных функций.Как найти область определения функции? Многие помнят детскую считалку: «камень, ножницы, бумага», и в данном случае её можно смело перефразировать: «корень, дробь и логарифм». Таким образом, если вам на жизненном пути встречается дробь, корень или логарифм, то следует сразу же очень и очень насторожиться! Намного реже встречаются тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, и о них мы тоже поговорим. Но сначала зарисовки из жизни муравьёв:
X^2(-x^2 -49)<=49(-x^2 -49) -умножаем левую и правую часть на -1: x^2(x^2 +49)>=49(x^2 +49) предположим x:2=a, тогда: a(a+49)-49(a+49)>=0 a^2-49^2>=0 (a-49)(a+49)>=0 т.к. a=x^2 всегда >=0, то x^2 +49 всегда >0 и решение неравенства сводится к решению x^2 -49>=0 (x-7)(x+7)>=0 система 1: x-7>=0 x+7>=0 x>=7 x>=-7 решением является пересечение, т.е. x>=7
система 2: x-7<=0 x+7<=0 x<=7 x<=-7 решение x<=-7 решением исходного неравенства будет объединение решений двух систем, т.е. -7>=x>=7 - объединение числовых промежутков от минус бесконечности до -7 и от 7 до плюс бесконечности
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статьям Множества и действия над ними, Графики и свойства элементарных функций.Как найти область определения функции? Многие помнят детскую считалку: «камень, ножницы, бумага», и в данном случае её можно смело перефразировать: «корень, дробь и логарифм». Таким образом, если вам на жизненном пути встречается дробь, корень или логарифм, то следует сразу же очень и очень насторожиться! Намного реже встречаются тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, и о них мы тоже поговорим. Но сначала зарисовки из жизни муравьёв:
x^2(x^2 +49)>=49(x^2 +49)
предположим x:2=a, тогда:
a(a+49)-49(a+49)>=0
a^2-49^2>=0
(a-49)(a+49)>=0
т.к. a=x^2 всегда >=0, то x^2 +49 всегда >0
и решение неравенства сводится к решению x^2 -49>=0
(x-7)(x+7)>=0
система 1: x-7>=0 x+7>=0
x>=7 x>=-7
решением является пересечение, т.е. x>=7
система 2: x-7<=0 x+7<=0
x<=7 x<=-7
решение x<=-7
решением исходного неравенства будет объединение решений двух систем, т.е. -7>=x>=7 - объединение числовых промежутков от минус бесконечности до -7 и от 7 до плюс бесконечности