По физическим соображениям понятно, что k > 0 - толстую балку явно сложнее согнуть, чем тонкую. Начиная с этого момента будем считать, что k = 1 (физики скажут, что мы выбрали такую систему координат, в которой k безразмерно и равно 1) - это явно никак не влияет на положение максимума.
Можно считать, что сечение сделано так, как будто прямоугольник со сторонами x, y вписан в окружность диаметра d (Почему это верно: пусть всё не так, и, например, x при фиксированном y можно увеличить. Тогда увеличим - и q тоже увеличится, чего не может быть, если достигнут максимум.)
Если прямоугольник вписан, то его диагональ - диаметр окружности. По теореме Пифагора x^2 + y^2 = d^2, откуда y^2 = d^2 - x^2. Подставляем это в формулу и получаем такую формулировку задачи: Найти максимальное значение функции q(x) = x(d^2 - x^2) на отрезке [0, d].
Пусть х ч - время 1-го тракториста, у ч - время 2-го тракториста. 1/х пашет за 1 час 1-й тракторист, 1/у - пашет за 1 час 2-й тракторист. 1/х+1/у - пашут вместе за 1 час 1/(1/х+1/у) = 6 ч - вспашут всё поле, работая вместе. (1 уравнение) 2/5 : 1/х час. - время 1-го, за которое он вспашет 2/5 поля. Это на 4 ч больше, чем 1/5 : 1/у час - время 2-го, за которое он вспашет 1/5 поля. Составляем 2-е уравнение 2х/5 - у/5 = 4. Упрощаем каждое и получаем систему уравнений: ху=6(х+у) и 2х-у=20 Из второго у=2х-20, подставляем в первое х(2х-20)=6(х+2х-20) 2х*х-20х-18х+120=0 2х*х-38х+120=0 х*х-19х+60=0 х1=4, х2=15. Подставляе и находим у: у1=-12, у2=10. Первая пара - посторонние корни, т.к. у1 должно быть больше 0. ОТВЕТ: время 1-го тракториста - 15 часов время 2-го тракториста - 10 часов ПРОВЕРКА: 1/(1/15+1/10)=150/25=6 ч, 2/5:1/15=30/5=6 ч., 1/5:1/10=10/5=2 ч. 6>2 на 4 часа.
Можно считать, что сечение сделано так, как будто прямоугольник со сторонами x, y вписан в окружность диаметра d (Почему это верно: пусть всё не так, и, например, x при фиксированном y можно увеличить. Тогда увеличим - и q тоже увеличится, чего не может быть, если достигнут максимум.)
Если прямоугольник вписан, то его диагональ - диаметр окружности. По теореме Пифагора x^2 + y^2 = d^2, откуда y^2 = d^2 - x^2. Подставляем это в формулу и получаем такую формулировку задачи:
Найти максимальное значение функции q(x) = x(d^2 - x^2) на отрезке [0, d].
Берем производную:
q'(x0) = (x0 * d^2 - x0^3)' = d^2 - 3x0^2
Присваиваем производную к нулю и решаем получившееся уравнение (учтя, что x > 0):
d^2 - 3x0^2 = 0
x0^2 = d^2 / 3
Найденная точка - точка максимума (хотя бы потому, что q' > 0 при 0 < x < x0 и q' < 0 при x > x0). Поэтому можно сразу писать ответ.
ответ.