Свойства степени с натуральным показателем Свойства степени с натуральным показателем: Натуральная степень числа 0 равна 0, т. е. 0m = 0. Любая степень положительного числа есть положительное число: при a > 0, am > 0. Четная степень отрицательного числа есть положительное число: если m – четное и a 0. Например, (–12)4 > 0, так как 4 – четное число и –12 < 0. Нечетная степень отрицательного числа есть отрицательное число: если n – нечетное и a < 0, то an < 0. Например, (–12)5 < 0, так как 5 – нечетное число и –12 < 0.
См. рисунок
BL=BK=0,5BC=2см
По теореме Пифагора найдем сторону вписанного квадрата KL
KL²=2BL² ⇒ KL=BL*√2=2√2 см.
Найдем во сколько раз сторона большого заданного квадрата, больше стороны вписанного
Соответственно площадь вписанного квадрата будет в 2 раза меньше площади большого заданного квадрата .
Если вписать в квадрат KLMN через середины его сторон квадрат, то площадь этого вписанного квадрата будет так же в 2 раза меньше чем площадь квадрата KLMN. И так далее.... Получается геометрическая прогрессия со знаменателем 0,5.
Площадь заданного большого квадрата S=a²=4²=16 см²
Доброй ночи!
Представим дробь
1/n(n+1)(n+2) в виде суммы дробей A/n + B/(n+1) + C/(n+2)
Приведём к единому знаменателю и получим такой числитель
А(n+1)*(n+2) + B(n*(n+2) + C(n*(N+1) = A(n2+3n+2)+B(n2+2n)+C(n2+n) =
n2(A+B+C) + n(3A+2B+C) + 2A
Числитель должен быть равен 1. Данное условие должно выполняться при лююбом n. Получаем, коэффиуиенты при n2 и n должны быть равны 0, а 2A = 1
A =1/2
A+B+C = 0
3A+2B+C = 0
Вычитаем из второго уравнения первое и получаем равносильное уравнение
2A + B = 0. B = -1
C = 1/2
Получаем, 1/n(n+1)(n+2) = 1/(2n) - 1/(n+1)+1/2(n+2)
n = 1 1/2 - 1/2 + 1/6
n = 2 1/4 - 1/3 + 1/8
n = 3 1/6 - 1/4 + 1/10
n = 4 1/8 - 1/5 + 1/12
сумма первых членов равна
1/4 - 1/10 + 1/12
n = 5 1/10 - 1/6 + 1/14
сумма пяти членов равна
1/4 -1/12 + 1/14 или равна 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)
Покажем по индукции что начиная со второго сумма членов указанной последовательности вычисляется по формуле 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)
n = 1
По формуле получаем 1/4 - 1/2*3 + 1/ 2*4 = 1/4 - 1/6 + 1/8 = сумме первых двух членов. Проверьте сами.
Сумма первых четрёх членов равна = формуле 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2) с n = 4
Покажем теперь, что если сумма первых k членов заданной последовательности вычисляется по формуле 1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2)
То и для суммы k+1 члена последовательности формула выполняется.
Sk = 1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) - сумма первых k членов последовательности.
Sk+1 = Sk + 1/(k+1)(k+2)(k+3) =
1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) + 1/(2(k+1)) - 1/(k+1+1)+1/2(k+1+2) =
1/4 + 1/2(k+2) - 1/(k+2) + 1/(2(k+3)) = 1/4 - 1/2(k+2) + 1/2(k+3)
То есть формула верна и для суммы к+1 одного члена последовательности.
ответ: Sn = 1/4 -1/2(n+1) +1/2(n+2)