отметим точки х=-6, х=-2, х=1 на числовой прямой и найдем знак функции у=(х+6)(х+2)(х-1)² на каждом промежутке + - + + III -6 -2 1 Решением неравенства являются х∈[-6;-2]υ{1}
Целые решения -6; -5; -4; -3; -2; 1 Всего 6 целых решений.
Решение, построенное на другой идее. Начнем с глупого утверждения.
Глупое утверждение. x и y взаимно просты. Доказательство. Пусть x и y делятся на d > 1. Но тогда 2x + 1 должно делиться на d, а на самом деле дает остаток 1.
Теперь можно перемножить сравнения, получим, что (2x + 1)(2y + 1) делится на xy. 4xy + 2(x + y) + 1 делится на xy 2(x + y) + 1 делится на xy
Из последнего следует, что 2(x + y) + 1 >= xy xy - 2x - 2y <= 1 (x - 2)(y - 2) <= 5
Пусть для определенности x >= y. Тогда достаточно рассмотреть такие случаи: 1) y = 1. Тогда 3 делится на x, откуда x = 1 или x = 3. 2) y = 2. Тогда 5 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 5. Проверка показывает, что это не решение: 11 не делится на 2. 3) y = 3. Тогда 7 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 7. Проверка показывает, что это решение: 15 делится на 3. 4) y >= 4. Тогда x - 2 <= 5/2, т.е. x <= 4. Последнее невозможно в силу ограничений на x.
D=b²-4ac=25+24=49
x₁=(-5+7)/2=1 х₂=(-5-7)/2=-6
х²+5х-6=(х+6)(х-1)
х²+х-2=0
D=b²-4ac=1-4(-2)=9
x₃=(-1-3)/2=-2 х₄=(-1+3)/2=1
х²+х-2=(х+2)(х-1)
Неравенство принимает вид:
(х+6)(х-1)(х+2)(х-1)≤0
или
(х+6)(х+2)(х-1)²≤0
отметим точки х=-6, х=-2, х=1 на числовой прямой и найдем знак функции
у=(х+6)(х+2)(х-1)² на каждом промежутке
+ - + +
III
-6 -2 1
Решением неравенства являются х∈[-6;-2]υ{1}
Целые решения -6; -5; -4; -3; -2; 1
Всего 6 целых решений.
Глупое утверждение. x и y взаимно просты.
Доказательство. Пусть x и y делятся на d > 1. Но тогда 2x + 1 должно делиться на d, а на самом деле дает остаток 1.
Теперь можно перемножить сравнения, получим, что
(2x + 1)(2y + 1) делится на xy.
4xy + 2(x + y) + 1 делится на xy
2(x + y) + 1 делится на xy
Из последнего следует, что 2(x + y) + 1 >= xy
xy - 2x - 2y <= 1
(x - 2)(y - 2) <= 5
Пусть для определенности x >= y. Тогда достаточно рассмотреть такие случаи:
1) y = 1. Тогда 3 делится на x, откуда x = 1 или x = 3.
2) y = 2. Тогда 5 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 5. Проверка показывает, что это не решение: 11 не делится на 2.
3) y = 3. Тогда 7 делится на x, и единственная возможность для x - это x = 7. Проверка показывает, что это решение: 15 делится на 3.
4) y >= 4. Тогда x - 2 <= 5/2, т.е. x <= 4. Последнее невозможно в силу ограничений на x.
ответ. (1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 7), (7, 3).