Пусть в силу условия (1) (2) где х, y - некоторые натуральные числа
Предположим что тогда из второго соотношения (2) следует что где k - некоторое натуральное число
откуда а значит число |16a-9b| сложное если и
Рассмотрим варианты 1) что невозможно - два последовательных натуральных числа не могут быть квадратами натуральных чисел (доказательство єтого факта =>x=1; y=0 ) 2) => k - ненатуральное -- невозможно 3) => k - ненатуральное - невозможно тем самым окончательно доказали,что исходное утверждение верно.
Случай когда Учитывая симметричность выражений a+b=b+a, ab=ba доказывается аналогично. Доказано
Если вписать квадрат в окуржность, то его диагональ будет диаметром этой окружности (угол опирающийся на диаметр - прямой). Таким образом длина диагонали квадрата вписанного в окружность: , где a - сторона квадрата. Так как диагональ есть диаметр то она равна двум радиусам: . Тогда выразим длину стороны квадрата:
Если вписать окружность в квадрат, то ее радиус будет равен половине стороны квадрата: . Подставив предыдущую формулу в данную, получим: .
Таким образом мы получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию радиусов окружностей. Первый элемент , знаменатель прогресии .
где х, y - некоторые натуральные числа
Предположим что
тогда из второго соотношения (2) следует что
где k - некоторое натуральное число
откуда
а значит число |16a-9b| сложное если
и
Рассмотрим варианты
1)
что невозможно - два последовательных натуральных числа не могут быть квадратами натуральных чисел
(доказательство єтого факта
=>x=1; y=0
)
2)
=> k - ненатуральное -- невозможно
3)
=> k - ненатуральное - невозможно
тем самым окончательно доказали,что исходное утверждение верно.
Случай когда
Учитывая симметричность выражений a+b=b+a, ab=ba
доказывается аналогично.
Доказано
Если вписать квадрат в окуржность, то его диагональ будет диаметром этой окружности (угол опирающийся на диаметр - прямой). Таким образом длина диагонали квадрата вписанного в окружность:
, где a - сторона квадрата. Так как диагональ есть диаметр то она равна двум радиусам: 
. Тогда выразим длину стороны квадрата: 
Если вписать окружность в квадрат, то ее радиус будет равен половине стороны квадрата:
. Подставив предыдущую формулу в данную, получим: 
.
Таким образом мы получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию радиусов окружностей. Первый элемент
, знаменатель прогресии 
.
Сумма всех радиусов равна
.
Тогда сумма длин всех окружностей: