Решите с операций над множествами

выбрано некоторое множество натуральных чисел. среди них 150 чисел кратных "2", 100 кратных "3", 115 кратных "5", 55 кратных "6", 42 кратных "10", 30 кратных "15", 20 кратных "30". сколько элементов в заданном множестве?

№1.

№2.

ответ:

№3.

а)

f(x) = 19-2x;   D(f) = (-∞;+∞)

б)

g(x) = x+1;   D(g) = (-∞;+∞)

в)

y(x) = √x;   D(y) = [0;+∞)

г)

y = x²-4;   D(y) = (-∞;+∞)

Область определения линейных функций (пункты а и б) и квадратных (пункт г) ничто не ограничивает. А вот для квадратного корня есть ограничения - подкоренное выражение не может быть отрицательным (в пункте в) x ≥ 0).

№4.

а)

y = 37x+1;   E(y)=(-∞;+∞)

б)

y = -23;   E(y) = -23

в)

y = x;   E(y) = (-∞;+∞)

г)

y = |x|;   E(y) = [0;+∞)

Для линейной функция вида y=kx+b, k≠0, множество значений все действительные числа (пункты а и в). Для линейной функции вида y=b, b - константа, множество значений и есть число b, оно неизменно (пункт б). Множество значений модуля, все неотрицательные числа (пункт г).

ответы на вопросы:

1. Графиком квадратичной функции является парабола.

2. Привести функцию к виду f(x) = ax²+bx+c, абсцисса вершины: , ордината вершины: y₀ = f(x₀) - надо подставить значение x₀ в квадратичную функцию.

3. Направление ветвей зависит от старшего коэффициента.

Если a<0, то ветви направлены вниз;

Если a>0, то ветви направлены вверх.

4. Да, любая парабола имеет ось симметрии, для графика функции y=ax²+bx+c, ось симметрии будет

5. Определяем координаты вершины парабола и направление ветвей. Если вершина ниже оси Ox, а ветви направлены вниз ИЛИ вершина выше оси Ox, а ветви направлены вверх, то искать нули функции (x, при которых график функции пересекает ось Ox) не надо. В остальных двух случаях, находим нули функции.

Составляем таблицу точек, для таких x, что не очень далеко от абсциссы вершины. И заодно находим координаты точки пересечения графика с осью Oy (x=0).

Отмечаем точки из таблицы и вершину на координатной плоскости и проводим параболы, подписываем координаты точек пересечения графика с ось Ox.

K^4-k^2 кратно 12 (1)

Ш.И.(Шаг индукции) Проверим верно ли (1), при k=1:

1^4-1^2=0 => 0кратно12(верно)

П.И.(Предположение индукции) Предположим, что (1) верно, при k=n, т.е.

n^4-n^2 кратно12=> n^2(n^2-1)кратно12

Б.И. Докажем, что (1) верно, при k=n+1:

(n+1)^4-(n+1)^2=(n+1)^2((n+1)^2-1)=(n+1)^2(n+1+1)(n+1-1)=(n+1)^2(n+2)n=

=(n^2+2n+1)(n^2+2n)=n^4+2n^3+2n^3+4n^2+n^2+2n=n^2(n^2+4n+5)+2n=

=n^2(n^2+4n+6-1)+2n=n^2(n^2-1)+n^2(4n+6)+2n=n2(n^2-1)+4n^3+6n^2+2n=

=n^2(n^2-1)+2n(2n^2+3n+1), т.к. n^2(n^2-1)кратно12 по П.И., то по св-ву делимости №2, необходимо док-ть, что 2n(2n^2+3n+1)кратно12(2)

Ш.И. Проверим верно ли (2), при n=1:

2(2+3+1)=12=> 12кратно12(верно)

П.И. Предположим, что (2) верно, при n=r, т.е.

2r(2r^2+2r+1)кратно12

Б.И. Докажем, что (2) верно при n=r+1:

2(r+1)(2(r+1)^2+3(r+1)+1)=(2r+2)((r+1)(2(r+1)+3)+1)=

=(2r+2)((r+1)(2r+5)+1)=(2r+2)(2r^2+5r+2r+6)=(2r+2)(2r^2+7r+6)=

=4r^3+14r^2+12r+4r^2+14r+12=4r^3+6r^2+8r^2+2r+10r+4r^2+14r+12=

=2r(2r^2+3r+1)+12r^2+24r+12=2r(2r^2+3r+1)+12(r^2+2r+1), т.к.

2r(2r^2+3r+1)кратно12 по П.И., а 12(r^2+2r+1)кратно12, т.к. 12кратно12 и (r^2+2r+1)принадлежит множеству натуральных чисел(т.е. по св-ву делимости№7)=>по св-ву делимости№2 (2r(2r^2+3r+1)+12(r^2+2r+1))кратно12=> 2n(2n^2+3n+1)кратно12 (исходя из метода математической индукции)=>

=>( n^2(n^2-1)+2n(2n^2+3n+1))кратно12 по св-ву делимости№2=>

=>k^4-k^2кратно12(исходя из метода математической индукции) ч.т.д.

Св-во делимости№2: Если a кратно b и c кратно b, то (a+c)кратно b.

Св-во делимости№7:Если a кратно b и c – любое натуральное число, то ac кратно b.