Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что , получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например,
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
Объяснение:
Члены геометрической прогрессии в₁, в₁q , в₁q².
Сумма в₁ +в₁q +в₁q² =65.
Члены арифметической прогрессии (в₁-1), в₁q , (в₁q²-19) , по свойству ар.прогрессии в₁q =0,5(в₁-1+в₁q²-19)
2в₁q =в₁-1+в₁q²-19,
в₁+в₁q²-20-2в₁q =0
в₁-2в₁q+в₁q² =20
Получили систему
в₁ +в₁q +в₁q² =65, в₁(1 +q +q² )=65.
в₁ -2в₁q+в₁q² =20 в₁(1 -2q+q² )=20 Разделим первое на второе и используем основное свойство пропорции
65(1 -2q+q² )=20(1 +q +q² )
65-130q+65q²=20+20q+20q²
45q²-150q+45=0
3q²-10q+3=0 ,Д=100-36=64 ,q₁=1/3 , q₂=3
Найдем в₁,
1)в₁(1 +q +q² )=65, в₁(1 +1/3 +1/9 )=65, в₁=45
2) в₁(1 +q +q² )=65., в₁(1 +3 +9 )=65, в₁=5
Тогда эти числа такие
1) 45, 45*1/3 , 45*(1/9) или 45,15,5.
2) 5 ,5*3 ,5*9 или 5,15,45.