x=-1 - решение.
Сразу скажем, что x=0 - не решение.
Пусть для начала x>0;
x^2 - 2x cos(pi x) + 1 = (x^2 + 1) - 2x cos(pi x) >= 2x - 2x cos(pi x) = 2x (1 - cos(pi x))
Последнее выражение >= 0, так что для того, чтобы x оказатлся корнем, нужно, чтобы
2x (1 - cos(pi x)) = 0
x != 0 по предположению, тогда cos(pi x) = 1
x^2 - 2x + 1 = 0
x = 1.
Аналогично для x<0: x^2 - 2x cos(pi x) + 1 >= -2x - 2x cos(pi x) = -2x (1 + cos(pi x)) >= 0
cos(pi x) = -1
x^2 + 2x + 1 = 0
x = -1
Проверка.
x=1: 1^2 -2*1*cos(pi)+1=4 != 0
x=-1: ...=0
ответ: x=-1.
x=-1 - решение.
Сразу скажем, что x=0 - не решение.
Пусть для начала x>0;
x^2 - 2x cos(pi x) + 1 = (x^2 + 1) - 2x cos(pi x) >= 2x - 2x cos(pi x) = 2x (1 - cos(pi x))
Последнее выражение >= 0, так что для того, чтобы x оказатлся корнем, нужно, чтобы
2x (1 - cos(pi x)) = 0
x != 0 по предположению, тогда cos(pi x) = 1
x^2 - 2x + 1 = 0
x = 1.
Аналогично для x<0: x^2 - 2x cos(pi x) + 1 >= -2x - 2x cos(pi x) = -2x (1 + cos(pi x)) >= 0
cos(pi x) = -1
x^2 + 2x + 1 = 0
x = -1
Проверка.
x=1: 1^2 -2*1*cos(pi)+1=4 != 0
x=-1: ...=0
ответ: x=-1.