1) обе функции непрерывны и все время возрастают на данном отрезке, значит, минимальное и максимальное значение достигается на концах интервала y=x^2 y(2) = 4 - минимальное значение на [2;4] y(4) = 16 - максимальное значение на [2;4] y=x^3 y(2) = 8 - минимальное значение на [2;4] y(4) = 64 - максимальное значение на [2;4] 2) y=x^2 y(-4) < y(5) на интервале [2;4] y(0)=0 - минимальное значение на [-4;5] y(5)=25 - максимальное значение на [-4;5] y=x^3 здесь функция непрерывно возрастает на интервале [-4;5] следовательно, y(-4) = -64 - минимальное значение на [-4;5] y(5) = 125 - максимальное значение на [-4;5]
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1) (n Î N),a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n - a2n-1b + ... - ab2n-1 + b2n) (n Î N),(бином Ньютона)где n Î N, n! = 1·2·3·...·n, 0! = 1.II. Свойства степеней
Следующие свойства справедливы для любых положительных чисел a и b и любых действительных чисел a и b.
a0 = 1;aa + b = aa · ab;(aa)b = aab;(ab)a = aa · ba;
Замечание 1. Отметим, что отрицательные числа также можно возводить в некоторые степени (целые и, более общо, рациональные вида где m - целое, n - натуральное).
Замечание 2. 0a = 0, для любого a > 0.
III. Свойства радикалов если a ≥ 0, b ≥ 0, k Î N, если ab ≥ 0, k Î N. где a ≥ 0, если m - четно, a Î R, если m - нечетно. где a ≥ 0, b > 0, n - четно или b ≠ 0, a Î R, если n - нечетно. где a ≥ 0, если m - четно или n четно, a Î R, если m·n - нечетно. где a > 0, b > 0, c > 0 и a2 ≥ b2c.
Пример 1. Определить ОДЗ алгебраических выражений:
Решение. a) ОДЗ данного выражения определяется из неравенства x + x2 - 2x3 ≥ 0, которое решаем при метода интервалов:
x + x2 - 2x3 ≥ 0 Û x(1 + x - 2x2) ≥ 0 Û x(2x + 1)(1 - x) ≥ 0 Û x Î (-¥;-1/2]È[0;1].
Таким образом, D(E) = (-¥;-1/2]È[0;1].
b) Отметим, что выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда
x2 + y ≠ 0,|x - y| ≠ 0,x + y ≠ 0,откуда следует, что D(E) = {(x,y) | x ≠ y, x ≠ -y}.
c) Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, а корень второй степени существует только из неотрицательных выражений, то для определения ОДЗ получим систему
b + c ≠ 0,b2c + c2b ≠ 0,d ≥ 0, Û b + c ≠ 0,bc(b + c) ≠ 0,d ≥ 0, Û b + c ≠ 0,b ≠ 0,c ≠ 0,d ≥ 0.
Таким образом, ОДЗ исходного выражения равна {(a,b,c,d) | b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d≥ 0}.
Пример 2. Определить, являются ли выражения A и B тождественно равными на множестве M.
Решение. a) Так как на множествеM, то, применив формулу сокращенного умножения, получим:
Условие a > b > 0 влечет и, следовательно, Отсюда получаем, что Таким образом, выражения A и Bтождественно равны на множестве M.
b) Подобно предыдущему примеру
При преобразованиях учитывается, что, если то , и
Пример 3. Упростить выражения:
Решение. ОДЗ выражения определяется из системы решая которую, получим b ≥ 2.
Выполним равносильные на ОДЗ преобразования:
так как на ОДЗ , следовательно, Таким образом, при b ≥ 2 исходное выражение равно
b) ОДЗ данного выражения является множество {(m,n) | m ≥ 0, n ≥ 0, m ≠ n}. Обозначив получим m = a6 и n = b6 выражение принимает вид
Таким образом, исходное выражение на ОДЗ тождественно равно
c) На ОДЗ: {(a,b,c) | a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, a2 + c2 ≠ 0} выражение преобразуется следующим образом:
d) ОДЗ данного выражения является множество {(a,b,c) | a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c}. Приводя выражение к общему знаменателю, получим:
Учитывая вид знаменателя, разложим на множители числитель:
a3(c - b) + b3(a - c) + c3(b - a) = c(a3 - b3) + ab(b2 - a2) + c3(b - a) == (a - b)(c(a2 + ab + b2) - ab(a + b) - c3) = (a - b)(c(a2 - c2) + ab(c - a) + b2(c - a)) == (b - c)(a - b)(-a2b - a2c + c2(a + b)) = (a - b)(b - c)(b(c2 - a2) + ac(c - a)) == (a - b)(b - c)(c - a)(ab + bc + ca).
Следовательно, на ОДЗ исходное выражение тождественно равно ab + bc + ca.
f) ОДЗ выражения является множество {(x,y,z) | x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x}. Первое слагаемое выражения преобразуем следующим образом:
Аналогично преобразуются и другие слагаемые:Следовательно,
g) ОДЗ выражения равна R\{-2;0;3}. Учитывая, что выражение содержит |m| и |m - 3|, рассмотрим три случая:
пусть m Î (-¥;-2)È(-2;0); тогда |m| = -m, |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимает видпусть m Î (0;3); тогда |m| = m, |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимаетпусть m Î (3;+¥); тогда |m| = m, |m - 3| = m - 3 и выражение принимает вид
y=x^2
y(2) = 4 - минимальное значение на [2;4]
y(4) = 16 - максимальное значение на [2;4]
y=x^3
y(2) = 8 - минимальное значение на [2;4]
y(4) = 64 - максимальное значение на [2;4]
2) y=x^2
y(-4) < y(5) на интервале [2;4]
y(0)=0 - минимальное значение на [-4;5]
y(5)=25 - максимальное значение на [-4;5]
y=x^3
здесь функция непрерывно возрастает на интервале [-4;5]
следовательно,
y(-4) = -64 - минимальное значение на [-4;5]
y(5) = 125 - максимальное значение на [-4;5]
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1) (n Î N),a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n - a2n-1b + ... - ab2n-1 + b2n) (n Î N),(бином Ньютона)где n Î N, n! = 1·2·3·...·n, 0! = 1.II. Свойства степенейСледующие свойства справедливы для любых положительных чисел a и b и любых действительных чисел a и b.
a0 = 1;aa + b = aa · ab;(aa)b = aab;(ab)a = aa · ba;Замечание 1. Отметим, что отрицательные числа также можно возводить в некоторые степени (целые и, более общо, рациональные вида где m - целое, n - натуральное).
Замечание 2. 0a = 0, для любого a > 0.
III. Свойства радикалов если a ≥ 0, b ≥ 0, k Î N, если ab ≥ 0, k Î N. где a ≥ 0, если m - четно, a Î R, если m - нечетно. где a ≥ 0, b > 0, n - четно или b ≠ 0, a Î R, если n - нечетно. где a ≥ 0, если m - четно или n четно, a Î R, если m·n - нечетно. где a > 0, b > 0, c > 0 и a2 ≥ b2c.Пример 1. Определить ОДЗ алгебраических выражений:
Решение. a) ОДЗ данного выражения определяется из неравенства x + x2 - 2x3 ≥ 0, которое решаем при метода интервалов:
x + x2 - 2x3 ≥ 0 Û x(1 + x - 2x2) ≥ 0 Û x(2x + 1)(1 - x) ≥ 0 Û x Î (-¥;-1/2]È[0;1].Таким образом, D(E) = (-¥;-1/2]È[0;1].
b) Отметим, что выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда
x2 + y ≠ 0,|x - y| ≠ 0,x + y ≠ 0,откуда следует, что D(E) = {(x,y) | x ≠ y, x ≠ -y}.c) Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, а корень второй степени существует только из неотрицательных выражений, то для определения ОДЗ получим систему
b + c ≠ 0,b2c + c2b ≠ 0,d ≥ 0, Û b + c ≠ 0,bc(b + c) ≠ 0,d ≥ 0, Û b + c ≠ 0,b ≠ 0,c ≠ 0,d ≥ 0.Таким образом, ОДЗ исходного выражения равна {(a,b,c,d) | b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d≥ 0}.
Пример 2. Определить, являются ли выражения A и B тождественно равными на множестве M.
Решение. a) Так как на множествеM, то, применив формулу сокращенного умножения, получим:
Условие a > b > 0 влечет и, следовательно, Отсюда получаем, что Таким образом, выражения A и Bтождественно равны на множестве M.b) Подобно предыдущему примеру
При преобразованиях учитывается, что, если то , и
Пример 3. Упростить выражения:
Решение. ОДЗ выражения определяется из системы решая которую, получим b ≥ 2.
Выполним равносильные на ОДЗ преобразования:
так как на ОДЗ , следовательно, Таким образом, при b ≥ 2 исходное выражение равноb) ОДЗ данного выражения является множество {(m,n) | m ≥ 0, n ≥ 0, m ≠ n}. Обозначив получим m = a6 и n = b6 выражение принимает вид
Таким образом, исходное выражение на ОДЗ тождественно равноc) На ОДЗ: {(a,b,c) | a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, a2 + c2 ≠ 0} выражение преобразуется следующим образом:
d) ОДЗ данного выражения является множество {(a,b,c) | a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c}. Приводя выражение к общему знаменателю, получим:
Учитывая вид знаменателя, разложим на множители числитель:
a3(c - b) + b3(a - c) + c3(b - a) = c(a3 - b3) + ab(b2 - a2) + c3(b - a) == (a - b)(c(a2 + ab + b2) - ab(a + b) - c3) = (a - b)(c(a2 - c2) + ab(c - a) + b2(c - a)) == (b - c)(a - b)(-a2b - a2c + c2(a + b)) = (a - b)(b - c)(b(c2 - a2) + ac(c - a)) == (a - b)(b - c)(c - a)(ab + bc + ca).Следовательно, на ОДЗ исходное выражение тождественно равно ab + bc + ca.
f) ОДЗ выражения является множество {(x,y,z) | x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x}. Первое слагаемое выражения преобразуем следующим образом:
Аналогично преобразуются и другие слагаемые:Следовательно,g) ОДЗ выражения равна R\{-2;0;3}. Учитывая, что выражение содержит |m| и |m - 3|, рассмотрим три случая:
пусть m Î (-¥;-2)È(-2;0); тогда |m| = -m, |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимает видпусть m Î (0;3); тогда |m| = m, |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимаетпусть m Î (3;+¥); тогда |m| = m, |m - 3| = m - 3 и выражение принимает видТаким образом,
Пример 4. Разложить на множители:
a) (x + y)(y + z)(z + x) - xyz;b) x3 + y3 + z3 - 3xyz;c) x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1;d) x5 + x + 1.Решение. a) Прибавляя и вычитая z(y + z)(z + x), а затем группируя удобным образом, получим:
(x + y)(y + z)(z + x) + z(y + z)(z + x) - z(y + z)(z + x) - xyz == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z((y + z)(z + x) - xy) == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z(z2 + yz + zx) == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z2(x + y + z) == (x + y + z)((y + z)(z + x) - z2) = (x + y + z)(xy + yz + zx).b) Применяется формула суммы кубов и решается подобно предыдущему упражнению
x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y)(x2 - xy + y2) + z(z2 - 3xy) == (x + y + z)(x2 - xy + y2) + z(z2 - 3xy - x2 + xy - y2) == (x + y + z)(x2 - xy + y2) + z(z2 - (x + y)2) == (x + y + z)(x2 - xy + y2 + z(z - x - y)) == (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz).c) Применяя формулы сокращенного умножения, получим:
d) x5 + x + 1 = 1 + x + x2 - x2 + x5 = 1 + x + x2 - x2(1 - x3) = (1 + x + x2) - x2(1 - x)(1 + x +x2) = (1 + x + x2)(1 - x2(1 - x)) = (1 + x + x2)(1 - x2 + x3).