1)Определение. Первообразной для функции f называется такая функция F, производная которой равна данной функции.
2)Если F1 и F2 – две первообразные для одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое. ... Функция, производная которой тождественно равна нулю, является постоянной. Итак, F1 – F2 = С. Таким образом, все первообразные для функции f получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной постоянной.
3)совокупность первообразных функции и называется непределенным интегралом от функции . Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается символическим выражением , которое читается "интеграл от эф от икс по дэ икс".
4) Знак интеграла (∫) используется для обозначения интеграла в математике.
5)Множество всех первообразных F(x)+C функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается . Символ называется интегралом, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, x называется переменной интегрирования.
6)Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x). Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.
7)Если – одна из первообразных некоторой функции , то совокупность всех первообразных этой функции можно представить в виде , где C – произвольная постоянная. Функция, имеющая первообразную в некотором промежутке, называется интегрируемой, а процедуру нахождения первообразной называют интегрированием этой функции.
8)Неопределенный интеграл его свойства. ... Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как ∫f(x)dx. Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение ∫f(x)dx=F(x)+C, где C - произвольная постоянная.
9)Метод интегрирования, при котором интеграл с тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
10)Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨].
11)Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления. Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x).
12)Криволинейная трапеция – плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции у = f(x), определенной на отрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми х = а, х = b – см. рис.
Пусть масса первого сплава равна х кг, а масса второго – у кг. Масса третьего сплава составляет х+у=250 кг (| уравнение).
250 кг третьего сплава содержат 25% никеля. Составим пропорцию, чтобы найти сколько кг никеля содержится в третьем сплаве: 250 кг – 100% ? кг – 25% масса никеля=250*25%/100%=62,5 кг Масса никеля в первом сплаве составляет 10% от х: 10%:100%*х=0,1х Масса никеля во втором сплаве составляет 35 % у: 35%:100%*у=0,35у 0,1х+0,35у=62,5 (|| уравнение)
Составим и решим систему неравенств (методом сложения): {х+у=250 {0,1х+0,35у=62,5
{х+у=250 (*-0,1) {0,1х+0,35у=62,5
{-0,1х-0,1у=-25 +{0,1х+0,35у=62,5 =(-0,1х+0,1х)+((-0,1у)+0,35у)=-25+62,5 0,25у=37,5 у=37,5:0,25 у=150 (кг) – масса второго сплава х+у=250 х+150=250 х=250-150 х=100 (кг) – масса первого сплава. Масса первого сплава меньше массы второго сплава на 150-100=50 (кг) ответ: Масса первого сплава меньше массы второго сплава на 50 кг
1)Определение. Первообразной для функции f называется такая функция F, производная которой равна данной функции.
2)Если F1 и F2 – две первообразные для одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое. ... Функция, производная которой тождественно равна нулю, является постоянной. Итак, F1 – F2 = С. Таким образом, все первообразные для функции f получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной постоянной.
3)совокупность первообразных функции и называется непределенным интегралом от функции . Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается символическим выражением , которое читается "интеграл от эф от икс по дэ икс".
4) Знак интеграла (∫) используется для обозначения интеграла в математике.
5)Множество всех первообразных F(x)+C функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается . Символ называется интегралом, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, x называется переменной интегрирования.
6)Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x). Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.
7)Если – одна из первообразных некоторой функции , то совокупность всех первообразных этой функции можно представить в виде , где C – произвольная постоянная. Функция, имеющая первообразную в некотором промежутке, называется интегрируемой, а процедуру нахождения первообразной называют интегрированием этой функции.
8)Неопределенный интеграл его свойства. ... Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как ∫f(x)dx. Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение ∫f(x)dx=F(x)+C, где C - произвольная постоянная.
9)Метод интегрирования, при котором интеграл с тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
10)Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨].
11)Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления. Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x).
12)Криволинейная трапеция – плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции у = f(x), определенной на отрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми х = а, х = b – см. рис.
250 кг третьего сплава содержат 25% никеля. Составим пропорцию, чтобы найти сколько кг никеля содержится в третьем сплаве:
250 кг – 100%
? кг – 25%
масса никеля=250*25%/100%=62,5 кг
Масса никеля в первом сплаве составляет 10% от х: 10%:100%*х=0,1х
Масса никеля во втором сплаве составляет 35 % у: 35%:100%*у=0,35у
0,1х+0,35у=62,5 (|| уравнение)
Составим и решим систему неравенств (методом сложения):
{х+у=250
{0,1х+0,35у=62,5
{х+у=250 (*-0,1)
{0,1х+0,35у=62,5
{-0,1х-0,1у=-25
+{0,1х+0,35у=62,5
=(-0,1х+0,1х)+((-0,1у)+0,35у)=-25+62,5
0,25у=37,5
у=37,5:0,25
у=150 (кг) – масса второго сплава
х+у=250
х+150=250
х=250-150
х=100 (кг) – масса первого сплава.
Масса первого сплава меньше массы второго сплава на 150-100=50 (кг)
ответ: Масса первого сплава меньше массы второго сплава на 50 кг