І рівень.
У завданнях 1-5 виберіть правильну відповідь.
1.(0,5б) Із наведених рівнянь біквадратними є:
1) ; 2) ; 3) .
2. (0,5б) Якщо в рівнянні зробити заміну , то дістанемо рівняння:
1) ; 2) ; 3) .
3. (0,5б) Коренями квадратного тричлена є пара чисел:
1) 1 і -7; 2) -1 і 7; 3) 0 і 6.
4. (1,5б) Сума двох чисел дорівнює 15, а їх добуток дорівнює 56.
Позначивши більше з чисел через , отримаємо рівняння: (обрати одне)
1) ; 2) ; 3) .
5.(2б) Катет прямокутного трикутника менший за гіпотенузу на 2 см.
Знайдіть гіпотенузу, якщо другий катет дорівнює 6 см.
Позначивши гіпотенузу через х, отримаємо рівняння: (обрати одне)
1) ; 2) ; 3)
ІІ рівень
6. (2б) Розв'яжіть рівняння: .
7. (2б) Розв’яжіть задачу:
Сума двох чисел дорівнює –18, а їх добуток дорівнює 80. Знайдіть ці числа.
ІІІ рівень
8. (3б) Задача.
Пароплав пройшов 9 км озером та 20 км за течією річки за 1 год. Знайдіть швидкість пароплава, з якою він рухався озером, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.
∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1
Далее преобразуем слагаемые в разности косинусов:
sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)]
Здесь были применены формулы
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y))
Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n
y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.
Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду
(b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1
Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.
∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n)
При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)
Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1
Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)
Пусть скорость течения реки х км/ч
Тогда собственная скорость катера 4х
Время, которое катер плыл против течения до встречи с плотом, примем за у.
S = v t, где S - расстояние, v - скорость, t -время.
До встречи с плотом катер проплыл против течения и у(4х-х)=3ху
а плот за то же время
ху
Расстояние от А до В равно
3ху + ху=4ху
По терчению от места встречи с плотом до пункта В катер плыл со скоростью
4х+х=5х и затратил
3ху:5х= 3/5 у часов или 0,6 у часов
За это же время плот проплыл 0,6 ху
Всего с момента отправления из пункта А до времени прибытия катера в В плот пройдет
ху+0,6 ху=1, 6 ху
Это расстояние составляет от всего расстояния от А до В
1,6ху:4ху=0.4 часть или 2/5
ответ: К моменту возвращения катера в пункт В плот пройдет 2/5 пути от А до В.