б). (в знаменателе выносим "y" и сокращаем с "y" в числителе)
ответ:
в). (раскрываем числитель по формуле разности квадратов , в знаменателе выносим "3")
ответ:
Задание №2
а). (одинаковый знаменатель, значит можно складывать)
ответ:
б). (знаменатели разные, чтобы сложить приводим к общему знаменателю. Первую дробь умножаем на 4, вторую умножаем на 5, после чего складываем)
ответ:
в). (принцип тот же. "а" есть и там, и там в знаменателе, значит первую дробь умножаем на 3, вторую умножаем на 2, чтобы получить общий знаменатель, после чего вычитаем)
ответ:
г). (знаменатель одинаковый - складываем)
ответ: 2
Задание №3
а). (умножаем первую дробь на a, а вторую умножаем на 2, после чего вычитаем дроби)
ответ:
б). (первую дробь умножаем на знаменатель второй дроби, а вторую дробь умножаем на знаменатель первой дроби, после чего вычитаем)
(ещё можно свернуть по формуле разности квадратов )
ответ:
в). (вынесем "b" в знаменателе второй дроби за скобку и умножим первую дробь на "b", после чего вычитаем)
ответ:
Задание №4
(приведем к общему знаменателю умножив на "2y", после чего сложим)
(теперь подставляем x = -8 и y = 0,1. Десятичное число 0,2 = дроби . Когда получилась трёхэтажная дробь, то знаменатель дроби в знаменателе переносится в числитель и умножается на числитель общей дроби, а знаменатель становится числитель дроби в знаменателе)
ответ: -40
Задание №5
(знаменатель средней дроби раскроем по формуле разности квадратов .
Первую дробь умножим на "х" и на "x+4", среднюю дробь умножим на "х", а третью дробь умножим на "x+4" и на "x-4", после чего посчитаем)
Т.к. sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем. Разобьем [a,b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков: ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1
Здесь были применены формулы cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y)) Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n
y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.
Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1
Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.
При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)
Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1
Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)
Задание №1
а). (сокращаем на "13y")
ответ:
б). (в знаменателе выносим "y" и сокращаем с "y" в числителе)
ответ:
в). (раскрываем числитель по формуле разности квадратов , в знаменателе выносим "3")
ответ:
Задание №2
а). (одинаковый знаменатель, значит можно складывать)
ответ:
б). (знаменатели разные, чтобы сложить приводим к общему знаменателю. Первую дробь умножаем на 4, вторую умножаем на 5, после чего складываем)
ответ:
в). (принцип тот же. "а" есть и там, и там в знаменателе, значит первую дробь умножаем на 3, вторую умножаем на 2, чтобы получить общий знаменатель, после чего вычитаем)
ответ:
г). (знаменатель одинаковый - складываем)
ответ: 2
Задание №3
а). (умножаем первую дробь на a, а вторую умножаем на 2, после чего вычитаем дроби)
ответ:
б). (первую дробь умножаем на знаменатель второй дроби, а вторую дробь умножаем на знаменатель первой дроби, после чего вычитаем)
(ещё можно свернуть по формуле разности квадратов )
ответ:
в). (вынесем "b" в знаменателе второй дроби за скобку и умножим первую дробь на "b", после чего вычитаем)
ответ:
Задание №4
(приведем к общему знаменателю умножив на "2y", после чего сложим)
(теперь подставляем x = -8 и y = 0,1. Десятичное число 0,2 = дроби . Когда получилась трёхэтажная дробь, то знаменатель дроби в знаменателе переносится в числитель и умножается на числитель общей дроби, а знаменатель становится числитель дроби в знаменателе)
ответ: -40
Задание №5
(знаменатель средней дроби раскроем по формуле разности квадратов .
Первую дробь умножим на "х" и на "x+4", среднюю дробь умножим на "х", а третью дробь умножим на "x+4" и на "x-4", после чего посчитаем)
ответ:
∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1
Далее преобразуем слагаемые в разности косинусов:
sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)]
Здесь были применены формулы
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y))
Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n
y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.
Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду
(b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1
Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.
∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n)
При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)
Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1
Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)