При яких значеннях а і в графік рівняння ах + ву =8 проходить через точки А(1,3) і В(2,-4)

Воспользуемся равенством

tg α – tg β = tg (α – β) (1 + tg α tg β).

Получаем:

tg x tg 2x tg 3x = tg 3x – tg x + tg 4x – tg 2x,
tg x tg 2x tg 3x = tg 2x (1 + tg x tg 3x) + tg 2x (1 + tg 2x tg 4x),
tg 2x (1 + tg x tg 3x – tg x tg 3x + 1 + tg 2x tg 4x) = 0,
tg 2x = 0 или tg 2x tg 4x = –2.

С первым понятно, что делать. Второе:

tg 2x tg 4x = –2,

tg 2x · 2 tg 2x / (1 – tg² 2x) = –2,
tg² 2x = tg² 2x – 1.

Это равенство невозможно.

Все решения получаются из уравнения tg 2x = 0, то есть 2x = πn, x = πn/2. Значения с нечётными n не подходят (tg x и tg 3x не существуют) , значит, ответ x = πk. Возможно так

1) (x+5)(x+2) > 0;

Для начала обозначим на координатной прямой нули ф-ции f(x) = (x+5)(x+2)

x + 5 = 0,    x = -5

x + 2 = 0,    x = -2

(смотри рисунок)

Точки исключенны так как строго >.

Найдем знак этой ф-ции на каждом из промежутков:

 

(-∞; -5) -  берем например -10. Подставим в наше неравенство. Имеем:

(-10 + 5)(-10 + 2) = (-5) * (-8),

Тоесть там и там отрицательное но когда умножим дасть положительное число, тоесть 40.

Значит на прмежутке (-∞; -5) знак положительной.

 

(-5; -2) - аналогично. Берем например -3.Подставим:

(-3 + 5)(-3 + 2) = 2 * (-1) = -2 - отрицательное. Значит на промежутке (-5; -2) знак отрицательной.

 

(-2; +∞). Берем например 0:

(0 + 5)(0 + 2) = 5 * 2 = 10

Значит на промежутке (-2; +∞) знак положительный.

 

Поскольку У нас неравенство > то берем промежутки с положительным знаком.

ответ: (-∞; -5) U (-2; +∞)

 

2) (x+1)(x-4) ≤ 0;

Найдем нули ф-ции:

х + 1 =0,  х = -1

х - 4 = 0,  х = 4

 

Точки включены (зарисованые)

на промежутке (-∞; -1] - положительный знак

на пр-ке [-1; 4] - отрицательный

на пр-ке [4; +∞) - положительной.

 

Поскольке ≤, то ответ: [-1; 4]

 

3) 

точку 7 - включить,  а точку -8  - исключить

Смотри рисунок.

(-∞; -8) -  "+"

(-8; 7]  -  "-"

[7; +∞)  - "+"

  ответ: (-8; 7]

 

4)

Точка -6 - включить;  точку 10 - исключить

(∞; -6] - "+"

[-6;10) - "-"

(10; +∞) - "+"

ответ: (∞; -6] U (10; +∞)

 

5) (x-1) x (x+3)> 0;

x = 1

x = 0

x = -3

Все точки исключены.

(-∞; -3) - "-"

(-3; 0) - "+"

(0; 1) - "-"

(1; +∞) - "+"

ответ: (-3; 0) U (1; +∞)

 

6) x(x+2)(x-3) > 0

x = 0

x = -2

x = 3

Все точки исключены.

(-∞; -2) - "-"

(-2; 0) - "+"

(0; 3) - "-"

(3; +∞) - "+"

ответ: (-2; 0) U (3; +∞)

 

7) 

Все точки исключены.

(-∞; -1) - "-"

(-1; 0) - "+"

(0; 0,5) - "-"

(0,5; +∞) - "+"

ответ: (-1; 0) U (0,5; +∞)

 

8) 

Точки 0 и -1/3 - включать, а точку 2 - нет.

(-∞; -1/3] - "-"

[-1/3; 0] - "+"

[0; 2) - "-"

(2; +∞) - "+"

ответ: (-∞; -1/3] U [0; 2)