При каком значении т корни уравнения х2+тх-11=0 являются противоположными числами

Показать ответ

Ответ:

Kolyan2003best

08.03.2021 07:29

$(7^n +3n -1)\ \vdots\ 9$

1 шаг. Проверим справедливость утверждения при n=1:

$7^1+3\cdot1-1=7+3-1=9\ \vdots\ 9$ - верно

2 шаг. Предположим, что при n=k следующее утверждение верно:

$(7^k +3k -1)\ \vdots\ 9$

3 шаг. Докажем, что при n=k+1 следующее утверждение также будет верно:

$(7^{k+1} +3(k+1) -1)\ \vdots\ 9$

Для доказательства выполним преобразования:

$7^{k+1} +3(k+1) -1=7\cdot7^k+3k+3-1=7^k+6\cdot7^k+3k+3-1=$

$=(7^k+3k-1)+6\cdot7^k+3=(7^k+3k-1)+3(2\cdot7^k+1)$

Рассмотрим получавшуюся сумму. Первое слагаемое (7^k+3k-1) делится на 9 по предположению, сделанному на предыдущем шаге. Во втором слагаемом $3(2\cdot7^k+1)$ первый множитель делится на 3. Значит, остается доказать, что второй множитель также делится на 3. Докажем это, используя арифметику остатков:

$2\cdot7^k+1\equiv2\cdot(7-2\cdot3)^k+1=2\cdot1^k+1=2\cdot1+1=2+1=3\pmod{3}$

Мы получили, что выражение $2\cdot7^k+1$ дает при делении на 3 такой остаток, как и число 3. Но число 3 кратно 3, значит и выражение $2\cdot7^k+1$ кратно 3.

Возвращаясь к выражению $(7^k+3k-1)+3(2\cdot7^k+1)$ , повторим, что первое слагаемое делится на 9, второе слагаемое представляет собой произведение двух множителей, каждое из которых делится на 3, то есть само слагаемое делится на 9. Сумма двух выражений, делящихся на 9, также делится на 9, или другими словами, кратна 9. Доказано.

0,0(0 оценок)

Ответ:

willzymustdie

13.04.2021 19:20

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

$a+c \equiv b + d \ (mod \ m)$

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

$ac \equiv bd \ (mod \ m)$

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

$a = 5\cdot 2^{51}+21\cdot 32^{45}$

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, $16 \equiv (-1) \ (mod \ 17)$ , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32