Пусть (10х + у) - неизвестное двузначное число, тогда ху - произведение цифр этого числа. Получаем первое уравнение системы уравнений: 10х + у - ху = 25
Так как неизвестное двузначное число в 5 раз больше суммы своих цифр, получаем второе уравнение системы уравнений: 10х + у = 5(х + у)
Найдем значение х, если y = 5: 10х + 5 - 5х = 25 5х = 25 - 5 5х = 20 х = 20 : 5 х = 4 Получаем двузначное число: 10 * 4 + 5 = 45
Найдем значение у, если х = 5: 10 * 5 + у - 5у = 25 50 - 4у = 25 4у = 50 - 25 4у = 25 у = 25 : 4 у = 6,25 - не удовлетворяет условию, т.к. цифра разряда единиц должна быть натуральным числом (или 0). ответ: 45.
2) sin(7pi/2 - x) = -1/√2 sin(2pi + 3pi/2 - x) = sin(3pi/2 - x) = -cos x = -1/√2 cos x = 1/√2 x = +-pi/4 + 2pi*k
3) Это чуть сложнее. 4sin^2 x - 11sin x*cos x + 7cos^2 x = 0 Делим все на cos^2 x 4tg^2 x - 11tg x + 7 = 0 Получили квадратное уравнение относительно тангенса. (tg x - 1)(4tg x - 7) = 0 tg x = 1; x1 = pi/4 + pi*k tg x = 7/4; x2 = arctg(7/4) + pi*k
4) Это самое сложное 3cos 2x + 4 = 5sin(x - pi/2); x ∈ [-3pi/2; pi] Формула косинуса двойного аргумента: cos 2a = 2cos^2 a - 1 Формула приведения: sin(x - pi/2) = -sin(pi/2 - x) = -cos x 6cos^2 x - 3 + 4 = -5cos x 6cos^2 x + 5cos x + 1 = 0 Квадратное уравнение относительно косинуса (2cos x + 1)(3cos x + 1) = 0 cos x = -1/2; x = +-2pi/3 + 2pi*k cos x = -1/3; x = +-arccos(-1/3) + 2pi*k В указанном промежутке находятся корни: x1 = -4pi/3; x2 = -2pi/3; x3 = 2pi/3; x4 = arccos(-1/3) - 2pi x5 = -arccos(-1/3); x6 = arccos(-1/3)
5) Это опять элементарно tg x =1/√3 x = pi/6 + pi*k
тогда ху - произведение цифр этого числа.
Получаем первое уравнение системы уравнений:
10х + у - ху = 25
Так как неизвестное двузначное число в 5 раз больше суммы своих цифр, получаем второе уравнение системы уравнений:
10х + у = 5(х + у)
Найдем значение х, если y = 5:
10х + 5 - 5х = 25
5х = 25 - 5
5х = 20
х = 20 : 5
х = 4
Получаем двузначное число:
10 * 4 + 5 = 45
Найдем значение у, если х = 5:
10 * 5 + у - 5у = 25
50 - 4у = 25
4у = 50 - 25
4у = 25
у = 25 : 4
у = 6,25 - не удовлетворяет условию, т.к. цифра разряда единиц должна быть натуральным числом (или 0).
ответ: 45.
1) cos(2x + pi/3) = 1/2
2x + pi/3 = pi/3 + 2pi*k; 2x = 2pi*k; x1 = pi*k
2x + pi/3 = -pi/3 + 2pi*k; 2x = -2pi/3 + 2pi*k; x2 = -pi/3 + pi*k
2) sin(7pi/2 - x) = -1/√2
sin(2pi + 3pi/2 - x) = sin(3pi/2 - x) = -cos x = -1/√2
cos x = 1/√2
x = +-pi/4 + 2pi*k
3) Это чуть сложнее.
4sin^2 x - 11sin x*cos x + 7cos^2 x = 0
Делим все на cos^2 x
4tg^2 x - 11tg x + 7 = 0
Получили квадратное уравнение относительно тангенса.
(tg x - 1)(4tg x - 7) = 0
tg x = 1; x1 = pi/4 + pi*k
tg x = 7/4; x2 = arctg(7/4) + pi*k
4) Это самое сложное
3cos 2x + 4 = 5sin(x - pi/2); x ∈ [-3pi/2; pi]
Формула косинуса двойного аргумента: cos 2a = 2cos^2 a - 1
Формула приведения: sin(x - pi/2) = -sin(pi/2 - x) = -cos x
6cos^2 x - 3 + 4 = -5cos x
6cos^2 x + 5cos x + 1 = 0
Квадратное уравнение относительно косинуса
(2cos x + 1)(3cos x + 1) = 0
cos x = -1/2; x = +-2pi/3 + 2pi*k
cos x = -1/3; x = +-arccos(-1/3) + 2pi*k
В указанном промежутке находятся корни:
x1 = -4pi/3; x2 = -2pi/3; x3 = 2pi/3; x4 = arccos(-1/3) - 2pi
x5 = -arccos(-1/3); x6 = arccos(-1/3)
5) Это опять элементарно
tg x =1/√3
x = pi/6 + pi*k